Где В1 и В2 – индукции, создаваемые в искомой точке А каждым из двух длинных проводников

РЕШЕНИЕ.

Индукции и созданы прямыми бесконечными токами, поэтому

,

где х – расстояние от А до первого проводника; (а – х) – расстояние от точки А до второго проводника.

В результате .

Подставим значение В в формулу (2.6.6), учитывая, что .

.

Индуктивность системы, приходящаяся на 1 м длины, .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: Гн/м.

Энергия, приходящаяся на метр длины, равна .

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: Дж/м.

ОТВЕТ: L = 1,05×10^–6 Гн/м; .

ЗАДАЧА 6. На полый картонный цилиндр длиной см и диаметром D = 3 см навита в два ряда медная проволока диаметром d ₀ = 1 мм. Полученная таким образом катушка подключена к гальваническому элементу, ЭДС которого В (рис. 2.6.5). Через какое время после перевода ключа из положения 1 в положение 2 сила тока в катушке уменьшится в 1000 раз? Какое количество джоулевой теплоты выделится за это время? Чему равна магнитная энергия катушки до переключения? Ом×мм²/м.

ДАНО: м D = 0,03 м d ₀ = 0,001 м В n = 1000 Ом×м²/м²

–? Q –? W ₀ –?

Рис. 2.6.5    

АНАЛИЗ. Ток в катушке исчезает не мгновенно, а постепенно уменьшается до нуля, т. к. в цепи действует ЭДС самоиндукции. При этом на омическом сопротивлении по закону Джоуля-Ленца выделяется теплота, количество которой за все время прохождения тока после отключения источника равно магнитной энергии катушки до отключения источника. Записав закон Ома и приняв во внимание, что действующая в цепи ЭДС есть ЭДС самоиндукции, получим дифференциальное уравнение относительно силы тока. Решив это уравнение, найдем время, за которое произойдет заданное уменьшение тока.

РЕШЕНИЕ. По закону Ома

.

Учитывая, что , получим

.

После разделения переменных, имеем . Произведя интегрирование по времени и по току , получаем

. (2.6.7)

Выразим время

. (2.6.8)

Проверим размерность: .

Найдем индуктивность L и сопротивление R катушки, рассматривая ее как бесконечно длинный соленоид,

, (2.6.9)

где N – полное число витков, и – соответственно поперечное сечение и длина катушки. Полное число витков равно . Подставим N и S _кв формулу (2.6.9), получим

.

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем: Гн.

Сопротивление обмотки , где – длина обмотки, – поперечное сечение проводника. Отсюда

.

Проверим размерность: .

Подставив значения, получаем: Ом.

Учитывая, что , из формулы (2.6.8) получаем время с.

Потенцируя (2.6.7), имеем – закон изменения тока.

Количество джоулевой теплоты, выделившейся на сопротивление R за время , равно

,

или

. (2.6.10)

Правильность формулы по размерности очевидна.

Начальная магнитная энергия катушки определяется по формуле

.

Правильность формулы по размерности очевидна.

Подставив значения, получаем: Дж.

При подсчете величины согласно (2.6.10) оказывается, что вычитаемое, стоящее в скобках, составляет величину ~10^–6. Это значит, что за время с вся магнитная энергия катушки превратилась в джоулевую теплоту.

ОТВЕТ: с; = 4,4×10^–4 Дж; Дж.

Дата добавления: 2015-06-27