При составлении расчетной схемы необходимо силы, приложенные к шкивам, привести к центрам тяжести сечений В и К

Так как левое концевое сечение стержня защемлено, то в заделке возникает реакция R. Эту реакцию определяем из условия равновесия всего стержня. Предположим, что направление реакции R совпадает с положительным направлением оси Z, тогда

Примеры решения задач

Задача 1

Построить эпюры ВСФ для стержня (рис. 2.8)

Находим реакцию опоры из уравнения статики

.

Составляем уравнение N на каждом из двух участков.

Находим значение N по границам участка

;

Рис. 2.8

Нетрудно заметить, что

.

Остальные ВСФ для всех сечений стержня равны нулю. Эпюра продольных сил показана на рис. 2.8

В сечениях, где приложены осевые сосредоточенные силы, на эпюре продольных сил имеется разрыв на величину этих сил. В остальных сечениях разрывов на эпюре продольных сил нет.

Задача 2

Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 2.9) построить эпюру (график)

продольных сил, если P=1,25 ql.

, .

Реакция R получилась положительной, следовательно, ее направление выбрано верно.

2. Разбиваем стержень на участки, в пределах которых функция N(z) непрерывна. Границами таких участков являются сечения, которые совпадают с местами приложения сосредоточенных сил, начала и конца действия распределенной нагрузки и концами стержня.

3. Рассмотрим часть стержня, ограниченную началом координат и произвольной абсциссой z на рассматриваемом участке.

Первый участок (рис. 2.10). Границами этого участка являются сечения и , т.е. . Продольная сила в этом сечении по определению будет равна взятой со знаком минус сумме проекций всех внешних сил, приложенных на левую часть стержня длиной z на ось z: . На всем участке внутренняя сила постоянна, а знак минус указывает, что она является сжимающей.

Второй участок (рис 2.11). Границами II участка являются сечения и , . На втором участке продольная сила изменяется по линейному закону, поэтому достаточно вычислить ее значения в начале и конце второго участка:

, .

Третий участок (рис.2.12)

,

На этом участке продольная сила постоянная и растягивающая. Следует отметить, что в сечении имеет место разрыв функции N(z) на величину 4P.

Четвертый участок (рис. 2.13)

,

На четвертом участке продольная сила опять изменяется по линейному закону:

, .

4. Построение эпюры N(z) (рис. 2.9). Ось эпюры проводят параллельно оси стержня. Вверх от оси откладывают положительные значения продольной силы, а вниз-отрицательные. Участок стержня, где продольная сила положительна, растянут, а где отрицательна – сжат.

Уравнение продольных сил в произвольном сечении с абсциссой z удобно записывать в одну строку, ограничив участки вертикальными линиями. Например, для рассмотренной задачи уравнение N(z) записывается в следующем виде:

.

Задача 3

Построить эпюры ВСФ для стержня (рис. 2.14), нагруженного двумя сосредоточенными моментами и погонной моментной нагрузкой постоянной интенсивности.

Рис.2.14

Последняя не задана, но ее можно найти из уравнения равновесия всего стержня: сумма моментов всех внешних нагрузок относительно оси стержня равна нулю.

откуда

Уравнения ВСФ:

Остальные ВСФ во всех сечениях стержня равны нулю. Эпюра крутящих моментов показана на рис. 2.14.

На первом и третьем участках угол наклона касательной к эпюре крутящих моментов равен нулю, так как интенсивность погонной моментной нагрузки равна нулю. На среднем участке угол наклона касательной к эпюре крутящих моментов постоянен и равен интенсивности погонной нагрузки .

В концевых сечениях, в которых приложены внешние сосредоточенные моменты, на эпюре крутящих моментов имеются разрывы на величину этих моментов. В остальных сечениях разрывов нет.

Задача 4

Для приведенной схемы нагружения вала (рис. 2.15 а) построить эпюру крутящих моментов, если L=0,5ml.

Рис. 2.15

Разбиваем вал на четыре участка, в пределах которых функция непрерывна. Запишем уравнение для определения крутящих моментов в произвольном сечении с абсциссой z, ограничив участки вертикальными линиями:

Рассмотрим это уравнение по участкам.

Первый участок: . Крутящий момент имеет постоянную величину, равную 2L= ml, т.е. .

Второй участок: . На этом участке крутящий момент изменяется по линейному закону, поэтому достаточно вычислить значения на концах второго участка: , .

Третий участок: . На третьем участке крутящий момент имеет постоянную величину минус 0,5ml. Следует отметить, что в сечении z=2l, где приложен сосредоточенный момент L, на графике имеет место разрыв функции на величину этого момента.

Четвертый участок: . Крутящий момент на этом участке изменяется по линейному закону:

Эпюра показана на рисунке 2.15 б.

Задача 5

Для стержня (рис.2.16 а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов , если , .

Определим реакции опор. На опоре А в общем случае возникают две реакции и . Так как на стержень не действуют горизонтальные силы, то из уравнения получим реакцию = 0.

Предположим, что реакции и положительные, т.е. совпадают с направлением оси Y. Из уравнения моментов относительно опоры В находим реакцию :

, ,

отсюда =0,75ql.

Из уравнения моментов относительно опоры А находим реакцию :

, ,

отсюда =1,75ql.

Рис.2.16

Так как значения реакций и получились положительными, то их направление выбрано верно.

Для проверки правильности найденных реакций используем второе уравнение статики:

,

следовательно, реакции определены верно.

Разбиваем стержень на четыре участка. Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов в произвольном сечении с абсциссой z, ограничив участки вертикальными линиями:

Для поперечной силы Q второй и третий участок объединены, т.к. функция в пределах второго и третьего участков непрерывна. Уравнение можно было получить путем дифференцирования уравнения моментов :

.

Рассмотрим уравнения и по участкам.

Первый участок:

.

Поперечная сила на протяжении всего участка постоянна.

, .

Изгибающий момент на этом участке изменяется по линейному закону, причем в начальном сечении, где приложен сосредоточенный момент, имеет место скачок на величину этого момента.

Второй участок: .

Поперечная сила на этом участке изменяется по линейному закону.

,

Изгибающий момент на втором участке изменяется по закону квадратной параболы:

, .

Так как поперечная сила в пределах второго участка меняет знак (график пересекает ось), то в точке изгибающий момент принимает экстремальное значение. Исследуем функцию на втором участке на экстремум:

,

откуда =1,75l.

Изгибающий момент в сечении принимает экстремальное значение:

.

Вогнутость параболы определяется по правилу «дождя», т.е. если , то парабола строится выпуклостью вниз, а если , то выпуклостью вверх.

Третий участок:

, , , .

Четвертый участок:

.

Отметим, что в сечении на эпюре имеет место разрыв на величину реакции =1,75ql, а в сечении - на величину силы Р.

, .

По вычисленным значениям строим эпюру поперечных сил (рис.2.16 б) и эпюру изгибающих моментов (рис. 2.16 в).

Задача 6

Для стержня, нагруженного в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 2.17 а), построить эпюры поперечных сил и и изгибающих моментов и , если P=2ql, L=1,25q .

Подобные задачи удобнее рассматривать в каждой плоскости с соответствующими внешними нагрузками отдельно. Рассмотрим вертикальную плоскость Y 0 Z(рис. 2.9 б).

Разбиваем стержень в этой плоскости на три участка и запишем уравнения и в произвольном сечении с абсциссой z.

Первый участок:

, , , .

Второй участок:

, , .

Третий участок:

, , .

Следует отметить, что в сечении на эпюре имеет место разрыв функции на величину приложенной силы Р, а в сечении на эпюре - на величину внешнего момента L. По полученным данным строим эпюру (рис. 2.17 в) и эпюру

(рис. 2.17 г).

1. Рассмотрим горизонтальную плоскость X0Z (рис. 2.17 д) и запишем уравнения и в произвольном сечении с абсциссой сечения z и рассмотрим их по участкам.

, .

Первый участок:

, , .

Второй участок:

, , .

Третий участок:

, , .

Отметим, что в сечении эпюра поперечных сил имеет разрыв на величину приложенной силы 2Р, а в сечении эпюра изгибающего момента – на величину приложенного момента L. По полученным значениям построены эпюры (рис.2.17 е) и (рис. 2.17ж).

Задача 7

Вал круглого поперечного сечения диаметром d передаёт мощность кВт, при об/мин. Ведущий шкив I имеет диаметр = 0,3 м, ведомый шкив II - = 0,2 м, a = 0,7 м, b = 0,5 м.

Ветви ременной передачи ведущего и ведомого шкивов расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях. Силы натяжения в ведущих ветвях принять равными удвоенным усилиям в ведомых ветвях, т.е. =2 и =2 . Составить расчетную схему и построить эпюры внутренних силовых факторов.

Силы в сечении К приводятся к равнодействующей и паре сил , в сечении В имеем соответственно и . Расчетная схема вала показана на рис. 2.18 б Если в общем случае внешние силы не лежат в вертикальной и горизонтальной плоскостях, то их можно разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие. 2.

2. Для составления уравнений внутренних сил и построения эпюр рассмотрим действие только крутящих моментов и (рис.2.18 в). Крутящий момент определяется по формуле:

,

где L – крутящий момент, ; N – мощность, кВт; n – частота вращения вала, об/мин.

Так как мощности на ведущем и ведомом валу равны, то получим:

Уравнение крутящих моментов для произвольного сечения вала с абсциссой zзапишется в виде . Таким образом, на участке вала от сечения А до сечения В крутящий момент равен нулю, а на участке от сечения В до сечения К крутящий момент имеет постоянную величину, равную Эпюра показана на рисунке 2.18г. Действие поперечных нагрузок в вертикальной и горизонтальной плоскостях рассмотрим отдельно.

Вертикальная плоскость Y0Z

(рис.2.18 д).

В вертикальной плоскости в сечении действует сила , которую определим из вышеприведенной формулы:

тогда . Определяем реакции опор. Предположим, что

реакция направлена вниз, а реакция – вверх. Сила направлена перпендикулярно к оси стержня, поэтому горизонтальная реакция в опоре А .

, ,

, ,

Реакции получились положительными, следовательно, их направление выбрано верно. Правильность вычисленных значений и проверим, используя второе уравнение статики:

, , - 10+34 - 24 º 0.

Реакции определены верно.

Запишем уравнения и в произвольном сечении вала с абсциссой z.

, .

I участок: .

Поперечная сила на этом участке постоянна и равна =10 кН. Изгибающий момент изменяется по линейному закону и в концевых точках:

,

II участок: .

Поперечная сила на этом участке постоянная и равна .

Изгибающий момент на этом участке в концевых сечениях участка будет таким:

,

.

Эпюры поперечной силы и изгибающего момента показаны на

рис. 2.18е и ж.

Горизонтальная плоскость X0Z (рис. 2.18 з).

В горизонтальной плоскости в сечении действует сила , которую определим по формуле

тогда .

Определяем реакции опор. Предположим, что реакции и совпадают с направлением оси X. Реакция .

, , кН.

, , кН.

Направление реакций выбрано верно, а численные значения проверим:

, .

Реакции вычислены правильно. Запишем уравнения и в произвольном сечении вала с абсциссой z:

I участок: .

Поперечная сила на этом участке постоянна и равна кН. Изгибающий момент на этом участке меняется по линейному закону и на концах участка принимает значения:

, кН.

II участок:

Поперечная сила на этом участке постоянна и равна

кН.

Изгибающий момент меняется по линейному закону и равен в концевых сечениях участка:

, .

III участок: .

На третьем участке поперечная сила и изгибающий момент равны нулю.

Эпюры и в горизонтальной плоскости показаны на рис. 2.18 и, к.

Для выявления наиболее нагруженного (опасного) сечения целесообразно построить эпюру результирующего изгибающего момента

.

Вычислим результирующий изгибающий момент в характерных сечениях А,В, С, К.

, , , .

По этим значениям в условной плоскости строим эпюру (рис. 2.18 л).

Дата добавления: 2015-06-28