![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Парабола
I Каноническое уравнение параболы Определение 1. Параболой называется линия, которая в некоторой ДПСК имеет уравнение где p – некоторое положительное число. Рассмотрим параболу (1). Т.к. замена y на (–y) не изменяет уравнения, это означает симметрию линии относительно оси Ox. В верхней полуплоскости уравнение (1) равносильно уравнению
При x< 0 корень не существует, следовательно, левее оси ординат ни одной точки параболы (1) нет. При x= 0 получаем y= 0: начало координат является самой “левой” точкой параболы (1) и с возрастанием x от 0 до y возрастает аналогично. Методы математического анализа позволяют выяснить, что линия (3) выпукла вверх и в начале координат касается оси ординат. Асимптот у параболы нет.
II Определяющее свойство параболы Для параболы (1) рассмотрим точку
Итак, точки параболы равноудалены от фокуса и директрисы. Это свойство (как и в случае эллипса и гиперболы) можно взять в качестве определения. Определение 2. Парабола есть геометрическое место точек (плоскости) равноудаленных от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой). Исходя из этого определения, получим каноническое уравнение, для чего обозначим расстояние от фокуса F до директрисы d через p, а ДПСК выберем следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной к фокусу от директрисы, а начало координат поместим посередине между F и d. В этой системе:
здесь Замечание 1. Уравнение (2) получим, если ось Oy провести через F перпендикулярно к d и от d к F. Кроме уравнений (1) и (2) рассматривают еще два уравнения y2= – 2 px – ось Ox направлена от F к d, и x2= –2 py – ось Oy направлена от F к d.
III Элементы параболы Ось симметрии – это просто ось параболы. Точка пересечения параболы со своей осью – это вершина параболы. Если M – точка параболы, то отрезок MF и его длина r называется фокальным радиусом точки M. Очевидно, что для параболы (1)
Таким образом, p характеризует “ширину” области, ограниченной параболой (при условии, что эта ширина измеряется перпендикулярно к оси на определенном расстоянии от вершины).
IV Нормальное уравнение параболы Если вершина параболы имеет координаты (x 0, y 0), а ось параллельна оси Ox, то ее уравнение имеет вид:
Если же ось параллельна Oy, то
Типовые задачи. 1). Составить каноническое уравнение параболы, зная некоторые ее элементы. 2). От общего уравнения y 2 + 8 x– 6 y– 7=0 перейти к нормальному и найти элементы параболы. 3). Исходя из определения 2, найти уравнение параболы, у которой фокус F (1;1), а уравнение директрисы x+y+ 2=0. (Заметим, что при решении этой задачи получим общее уравнение, в котором присутствует член, содержащий произведения переменных, из-за того, что ось параболы не параллельна ни одной из координатных осей).
§6. Касательные к кривым 2го порядка I Определения Касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе можно определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку, за исключением двух случаев: 1) прямая, параллельная асимптоте гиперболы, пересекает ее в одной точке, но не является касательной; 2) прямая, параллельная оси параболы, пересекает параболу в одной точке, но не является касательной. Касательную к окружности можно определить и как прямую, проходящую через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.
II Уравнения касательных Методами математического анализа можно получить (нужно уметь!) уравнения касательных к линиям, заданными своими каноническими уравнениями. Пусть точка (x 0, y 0) лежит на линии. Тогда: 1) касательная к эллипсу 2) касательная к гиперболе 3) касательная к параболе y 2 = 2 px имеет вид y 0 y=p (x+x 0). Замечание. Окружность понимаем как частный случай эллипса. III Некоторые свойства касательных 1. Фокусы эллипса расположены по одну сторону от любой его касательной, а фокусы гиперболы – по разные стороны. 2. Фокальные радиусы любой точки эллипса (гиперболы) образуют равные углы с касательной, проходящей через эту точку. 3. Произведение расстояний от фокусов эллипса (гиперболы) до любой касательной к линии есть величина постоянная. 4. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между ее асимптотами, делится пополам точкой касания. 5. Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и ее асимптотами, есть величина постоянная. 6. Касательная к параболе в любой ее точке образует равные углы с фокальным радиусом этой точки и лучом, исходящим из нее и идущим параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается. 7. Касательные к эллипсу (гиперболе), проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 1160; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |