Выпуклые и вогнутые функции

Волгодонск

Конспект лекции №5

по теме:

«Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба»

Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.

Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.

Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.

На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.

Признак выпуклости.

Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если, то функция выпукла на промежутке (a;b). Если, то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b).

Возьмем точку x₀Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

(1)

Разложим функцию в окрестности точки x₀ по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

, (2)

Вычтем (2) - (1):

.

x

y

на (a;b).

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Пример: Найти интервалы выпуклости графика функции.

D(y)=R.

;.

:.

(-¥;0) — функция выпукла, (0;+¥) — функция вогнута.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция в точке x₀ имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть непрерывна в окрестности точки, за исключением, может быть, самой точки. Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-».

+

-

x₀

Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на перегиб..

D(y)=R.

;

.

Критические точки второго рода:

:;

не существует: точек нет.

При переходе через точки вторая производная меняет знак.

Þ — точки перегиба.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая функция называется выпуклой?

2. Какая функция называется вогнутой?

3. Сформулировать признак выпуклости.

4. Какая точка называется точкой перегиба?

5. Сформулировать необходимое условие точки перегиба.

6. Сформулировать достаточное условие точки перегиба.

Задачи для самоконтроля.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба:

а), б).

Дата добавления: 2014-01-03