Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство

.

.

.

Определение. Пусть - это бинарное отношение, заданное на множестве А. Отношение называется

рефлексивным, если

антирефлексивным, если

симметричным, если . Если отношение содержит только пары с одинаковыми элементами, оно, разумеется, симметрично;

антисимметричным, если

транзитивным, если

полным если

Пример 1. Определить является ли данное отношение рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, полным.

Построить график отношения .

Решение. График этого отношения – эллипс, он показан на рис. 5.

1. не рефлексивно, так как, например, пара 2×12+12¹4.

2. не антирефлексивно, уравнение имеет решения.

Если Þ 3 х 2=4Þ х =±2/. Таким образом, пары (2/, 2/) и (-2/, -2/) принадлежат .

 

Рис. 5

3. не симметрично, например, (, 0) Î : 2×()2 = 4, но

(0, : 0 + ()2 ¹ 4.

4. Докажем, что не антисимметрично. Для чего убедимся в существовании решений системы

таких, что a ¹ b. Вот они:

5. не транзитивно. Например, (, 0)Î и (0, , но (, 2) Ï : 2×()2 +22 ¹ 4.

6. не полное отношение, Например, ни одна из пар (1, 5); (5, 1) не принадлежит .

Пример 2. Выполнить задание примера 1 (кроме построения графика) для отношения

Решение. Исследуем отношение .

1. – рефлексивно.

2. В силу рефлективности это отношение не антирефлексивно.

3. Пусть одновременно тогда

так как х и уцелые числа. Значит, антисимметрично.

4. В силу антисимметричности отношение не является симметричным.

5. Пусть пары (х, у) и (у, z) принадлежат . Тогда

Þ .

Таким образом, транзитивное отношение.

6. Если х, у Î Z, х ¹ у, то всегда верно ровно одно из двух неравенств: или - полное бинарное отношение.

Еще несколько примеров бинарных отношений.

Рефлексивное отношение. Отношение подобия треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости: каждый треугольник подобен себе самому.

Антирефлексивное отношение. Отношение перпендикулярности прямых, заданное на множестве всех прямых евклидовой плоскости: никакая прямая не перпендикулярна себе самой.

Симметричное отношение. Отношение “проживать в одном доме” заданное на множестве всех жителей некоторого города: если a живет в одном доме с b, то b живет в одном доме с a.

Антисимметричное отношение. Отношение “меньше”, заданное на множестве действительных чисел: если a < b, то b ³ a.

Транзитивное отношение. Отношение “больше”, заданное на множестве действительных чисел: если a > b и b > c, то a > c.

Полное отношение. Отношение “быть старше”, заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если а ¹ b, то либо а старше b, либо b старше а (на несколько лет или минут).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Бинарные отношения. Пусть А и В – два произвольных множества | Формула включения и исключения
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 830; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.