КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Доказательство
. . . Определение. Пусть - это бинарное отношение, заданное на множестве А. Отношение называется рефлексивным, если антирефлексивным, если симметричным, если . Если отношение содержит только пары с одинаковыми элементами, оно, разумеется, симметрично; антисимметричным, если транзитивным, если полным если Пример 1. Определить является ли данное отношение рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, полным. Построить график отношения . Решение. График этого отношения – эллипс, он показан на рис. 5. 1. не рефлексивно, так как, например, пара 2×12+12¹4. 2. не антирефлексивно, уравнение имеет решения. Если Þ 3 х 2=4Þ х =±2/. Таким образом, пары (2/, 2/) и (-2/, -2/) принадлежат .
Рис. 5 3. не симметрично, например, (, 0) Î : 2×()2 = 4, но (0, )Ï: 0 + ()2 ¹ 4. 4. Докажем, что не антисимметрично. Для чего убедимся в существовании решений системы таких, что a ¹ b. Вот они: 5. не транзитивно. Например, (, 0)Î и (0, )Î , но (, 2) Ï : 2×()2 +22 ¹ 4. 6. не полное отношение, Например, ни одна из пар (1, 5); (5, 1) не принадлежит . Пример 2. Выполнить задание примера 1 (кроме построения графика) для отношения Решение. Исследуем отношение . 1. – рефлексивно. 2. В силу рефлективности это отношение не антирефлексивно. 3. Пусть одновременно тогда так как х и у – целые числа. Значит, антисимметрично. 4. В силу антисимметричности отношение не является симметричным. 5. Пусть пары (х, у) и (у, z) принадлежат . Тогда
Þ . Таким образом, транзитивное отношение. 6. Если х, у Î Z, х ¹ у, то всегда верно ровно одно из двух неравенств: или - полное бинарное отношение. Еще несколько примеров бинарных отношений.
Рефлексивное отношение. Отношение подобия треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости: каждый треугольник подобен себе самому. Антирефлексивное отношение. Отношение перпендикулярности прямых, заданное на множестве всех прямых евклидовой плоскости: никакая прямая не перпендикулярна себе самой. Симметричное отношение. Отношение “проживать в одном доме” заданное на множестве всех жителей некоторого города: если a живет в одном доме с b, то b живет в одном доме с a. Антисимметричное отношение. Отношение “меньше”, заданное на множестве действительных чисел: если a < b, то b ³ a. Транзитивное отношение. Отношение “больше”, заданное на множестве действительных чисел: если a > b и b > c, то a > c. Полное отношение. Отношение “быть старше”, заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если а ¹ b, то либо а старше b, либо b старше а (на несколько лет или минут).
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 827; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |