Решение игры в чистых стратегиях

Пусть игроки А и В располагают конечным числом возможных действий (чистых стратегий). Обозначим их соответственно через и. Игрок А может выбрать любую чистую стратегию,, в ответ на которую игрок B может выбрать любую свою чистую стратегию,. Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары стратегий единственным образом определяет результат - выигрыш игрока А или проигрыш игрока В. Если известны значения выигрыша для любой пары чистых стратегий, то можно составить матрицу выигрышей игрока А (проигрышей игрока В). Эту матрицу называют платежной. Цель игрока А – максимизировать свой выигрыш, а игрока В – минимизировать свой проигрыш.

При определении наилучших стратегий игроков основой рассуждений является принцип разумности, который предполагает, что противники, участвующие в игре, одинаково разумны и любой из них делает все для того, чтобы добиться своей цели. Используя этот принцип, найдем наилучшую стратегию игрока А. Для этого проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из своих стратегий, для которой выигрыш игрока А будет минимальным. Поэтому найдем в любой строке платежной матрицы минимальное число, т.е.

(3.6)

Зная число, игрок А должен предпочесть другим стратегиям ту, для которой максимально, т.е.

(3.7)

Величина называется гарантированным (минимальным) выигрышем, который может себе обеспечить игрок А при любых стратегиях игрока В или нижней ценой игры (максимином).

Игрок В заинтересован уменьшить свой проигрыш или обратить в минимальный выигрыш игрока А. Поэтому в любом столбце находим максимальное значение выигрыша и среди них выбираем наименьшее, т.е.

(3.8)

Величину называют верхней ценой игры (минимаксом). Она показывает максимальный проигрыш, которого может достигать игрок В при любых стратегиях игрока А.

Теорема. В матричной игре нижняя чистая цена игры не превосходит верхней чистой цены игры, т.е., поскольку

. (3.9)

Если для чистых стратегий, игроков А и В соответственно имеет место равенство, то пару чистых стратегий называют седловой точкой матричной игры, а число − чистой ценой игры. Элемент матрицы называют седловым элементом платежной матрицы. Он является наименьшим элементом в строке l и наибольшим в столбце k, т.е.

,, (3.9)

Так как отклонение игрока А от максимальной стратегии ведет к уменьшению его выигрыша, а отклонение игрока В от минимальной стратегии ведет к увеличению его проигрыша, то стратегии и являются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков А и В. Тройку называют решением игры. Если игра имеет седловую точку, то говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Пример 10. Два банка А и В осуществляют капитальные вложения в пять строительных объектов. С учетом особенностей вкладов и местных условий прибыль банка А в зависимости от объема финансирования выражается элементами платежной матрицы А (тыс. руб.). Для упрощения задачи принять, что убыток банка В равен прибыли банка А. Найти решение матричной игры в чистых стратегиях, если оно существует.

Решение.

Так как, то игра неразрешима в чистых стратегиях (игра не имеет седловой точки).

Дата добавления: 2014-01-03