Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Смешанные стратегии и их свойства

Если матричная игра не имеет седловой точки, т.е., то применение минимаксных стратегий приводит к тому, что для любых из игроков выигрыш не меньше, а проигрыш не больше. Решение находят, применяя смешанные стратегии.

Смешанной стратегией игрока А называется вектор, где

и,, (3.9)

- вероятность, с которой игрок А выбирает свою чистую стратегию.

Смешанной стратегией игрока B называется вектор, где

и,, (3.10)

- вероятность, с которой игрок B выбирает свою чистую стратегию.

Чистые стратегии являются частным случаем смешанных. Например, если – чистая стратегия игрока А, то вероятность её выбора равна 1, т.е.. Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайно и независимо друг от друга, то игра принимает случайный характер. Случайной становится и величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В). Поэтому говорить можно лишь о средней величине выигрыша. Эта величина является функцией смешанных стратегий и определяется по формуле математического ожидания:

(3.11)

Функция называется платежной функцией игры с матрицей.

Смешанные стратегии и называют оптимальными, если они образуют седловую точку для платежной функции т.е. удовлетворяют неравенству

(3.12)

Значение платежной функции при оптимальных смешанных стратегиях и, т.е. называют ценой игры. Совокупность оптимальных стратегий и цены игры составляет решение игры.

Стратегия является доминирующей над стратегией, если все элементы l -й строки не меньше соответствующих элементов i -й строки, т.е., (стратегия доминируемая).

Стратегия является доминирующей над стратегией, если все элементы k -го столбца меньше или равны соответствующим элементам j -го столбца, т.е., (стратегия доминируемая).

Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий (ими игрокам пользоваться заведомо невыгодно) позволяет уменьшить ее размерность, а это упрощает решение игры. Вероятность применения доминируемых стратегий равна нулю.

Теорема 1. Оптимальные смешанные стратегии и соответственно игроков А и В в матричной игре с ценой будут оптимальными и в матричной игре с ценой, где.

Следовательно, платежную матрицу, имеющую отрицательные числа, можно преобразовать в матрицу с положительными числами. В последней матричной игре цена игры будет положительная:.

Теорема 2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях.

Теорема 3. Для того чтобы смешанные стратегии и были оптимальными для игроков А и В в игре с матрицей и выигрышем, необходимо и достаточно выполнение неравенств

, (3.13)

, (3.14)

Следствия.

1. Если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию, а игрок В любую чистую стратегию, то выигрыш игрока А будет не меньше цены игры.

2. Если игрок В использует оптимальную смешанную стратегию, а игрок А – любую чистую стратегию, то проигрыш игрока В не превысит цену игры.

Пример 11. Упростить платежную матрицу:

 

Решение:

 

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Решение игры в чистых стратегиях | Решение матричных игр в смешанных стратегиях путем сведения к паре двойственных задач
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 927; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.