Решение матричных игр в смешанных стратегиях путем сведения к паре двойственных задач

Рассмотрим игру с платежной матрицей. Будем полагать, что все элементы платежной матрицы неотрицательны, т.е.,, (в противном случае можно ко всем элементам матрицы добавить достаточно большое число; при этом по теореме 1 цена игры увеличится на L, а смешанные стратегии игроков не изменятся). Тогда можно считать. И пусть платежная матрица не содержит седловой точки, т.е. игра решается в смешанных стратегиях и.

Если - оптимальная смешанная стратегия игрока В, то по теореме 3 должны выполняться неравенства (3.14):

,.

Преобразуем эту систему неравенств, разделив обе части на число, и введем новое обозначение,. Тогда

,, (3.15)

А так как, то.

Поскольку игрок В стремится минимизировать цену игры (свой проигрыш), то величина будет максимизироваться. Поэтому оптимальная стратегия игрока В определится из задачи ЛП следующего вида:

найти

. (3.16)

при ограничениях

,; (3.17)

,; (3.18)

Аналогично рассуждая с позиции игрока А (используя неравенства (3.13) теоремы 3

,

и, обозначив,, получим, что оптимальная стратегия игрока А определится решением задачи ЛП следующего вида:

найти

. (3.19)

при ограничениях

,; (3.20)

,; (3.21)

Задачи (3.16) – (3.18) и (3.19) – (3.21) являются парой симметричных взаимно двойственных задач ЛП. Решив одну из них, автоматически получают решение другой. При этом оптимальные смешанные стратегии и соответственно игроков А и В находят по формулам

,; (3.22)

,; (3.23)

а цену игры - по формуле

(3.24)

Дата добавления: 2014-01-03