Этапы решения матричной игры

1. Проверить, имеет ли игра решение в чистых стратегиях.

2. Упростить платежную матрицу.

3. Если среди элементов платежной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам матрицы необходимо прибавить такое число, чтобы все элементы стали неотрицательными. При этом цена игры увеличится на L, а оптимальные смешанные стратегии не изменятся.

4. Составить пару взаимно двойственных задач ЛП (3.16) – (3.18) и (3.19) – (3.21), эквивалентных данной матричной игре.

5. Определить оптимальные планы двойственных задач.

6. Найти решение игры, используя формулы (3.22) – (3.24).

Пример 12. Найти оптимальные стратегии банков для задачи из примера 10 с платежной матрицей А:

Решение.

1. Проверим, имеет ли игра решение в чистых стратегиях (см. пример 10).

2. Упростим платежную матрицу (см. пример 11) и подпишем над столбцами матрицы смешанные стратегии банка B, которые остались после исключения доминируемых стратегий,, вероятности применения которых равны нулю:,. Рядом со строками матрицы подпишем смешанные стратегии банка А, которые остались после исключения доминируемых стратегий,,, вероятности применения которых также равны нулю:,,.

3. Так как среди элементов упрощенной матрицы есть отрицательные, то ко всем элементам А прибавим такое число, чтобы все значения стали неотрицательными. В нашем примере возьмем. При этом цена игры увеличится на и станет равной, а оптимальные смешанные стратегии банков не изменятся.

4. Подпишем над столбцами матрицы переменные, соответствующие смешанным стратегиям банка В, а рядом со строками матрицы − переменные, соответствующие смешанным стратегиям банка А.

Составим пару взаимно двойственных задач, эквивалентную матричной игре с платежной матрицей А

,

,

5. Решим прямую задачу симплекс-методом:

,

,.

,.

,.

6. Найдем решение игры в смешанных стратегиях.

,

,

,

Следовательно, из общей суммы средств, выделяемых банком А на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 60%, на долю 4-го – 40%. На остальные строительные объекты деньги выделять нецелесообразно.

,

,

,

Из общей суммы средств, выделяемых банком В на строительство пяти объектов, на долю 3-го объекта следует выделить 80 %, а на долю 4-го − 20 % всей суммы. В остальные строительные объекты деньги вкладывать нецелесообразно.

Такое распределение денежных средств банками А и В на строительство пяти объектов позволит им получить максимальную прибыль 0,6 тыс. ден. ед.

Дата добавления: 2014-01-03