Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Уравнения безмоментной теории оболочек вращения




Согласно основному допущению безмоментной теории, изгибающие и скручивающие моменты, а также поперечные силы считаются равными нулю. Из этого допущения следует, что нормальные напряжения и и касательные напряжения и постоянны по толщине оболочки, а напряжения и – отсутствуют.

Выделим бесконечно малый элемент стенки оболочки, ограниченный двумя близкими меридиональными сечениями и двумя коническими сечениями, перпендикулярными срединной поверхности (рис.7.6), и рассмотрим его равновесие.

Кроме напряжений на выделенный элемент действует поверхностная распределенная нагрузка, которую можно представить в виде трех составляющих:

– по нормали к поверхности;

– по касательной к меридиану;

– по касательной к параллели.

Введем обозначения:

– нормальная сила в окружном направлении;

– нормальная сила в меридиональном направлении;

– сдвигающая сила.

Внутренние силы принято относить к единице длины дуги: размерность этих сил – Н/м.

При несимметричном нагружении оболочки все величины зависят от двух переменных – от дуги и полярного угла, поэтому уравнения получаются в частных производных.

Составим уравнения проекций сил, действующих на элемент оболочки (рис. 7.6), на нормаль к поверхности, на ось вращения и на касательную к окружности:

 

 

 

 

 

 

Уравнения моментов в данном случае удовлетворяются тождественно. Отбросив величины более высокого порядка малости и выполнив элементарные преобразования с учетом зависимостей

 

придем к следующей системе трех уравнений с тремя неизвестными:

 

 

 

 

 

Рис. 7.6

где – осевая составляющая поверхностной нагрузки:

 

Уравнение (5) известно под названием уравнения Лапласа.

Уравнения (5)–(7) могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных с одним неизвестным. Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям на краях. Если граничные условия – силовые, т.е. на краях заданы усилия и, то решение системы уравнений (5) – (7) может быть доведено до конца. Если же граничные условия – геометрические, т.е. на краях заданы перемещения, то необходимо дополнительно использовать уравнения перемещений.

Перейдем к выводу уравнений перемещений. Введем обозначения:

– составляющая перемещения произвольной точки срединной поверхности по направлению касательной к меридиану;

– составляющая перемещения по направлению касательной к параллели;

– составляющая перемещения по нормали к поверхности.

 

 

Направления перемещений, показанные на рис.7.7, приняты за положительные. Перемещения точек и отличаются от перемещений точки на бесконечно малые приращения. Вычислим относительные линейные деформации в меридиональном и окружном направлениях и и угловую деформацию в касательной плоскости.

За счет приращения перемещения по координате отрезок меридиана получает удлинение, равное. За счет перехода точек и на больший радиус тот же отрезок получает удлинение, равное. Сложив эти удлинения и разделив на первоначальную длину отрезка, получим относительное удлинение в меридиональном направлении

 

Аналогично определим окружную деформацию. Отрезок, равный, получает следующие удлинения:

 

за счет приращения перемещения по координате;

 

за счет смещения точек и вдоль меридианов;

 

за счет смещения точек и по нормали и перехода их на больший радиус.

 

 

Рис. 7.7

Разделив сумму этих удлинений на первоначальную длину отрезка, найдем относительную окружную деформацию

 

Угловая деформация равна сумме углов поворота отрезков и в касательной плоскости. Угол поворота отрезка (обозначим его через) зависит только от приращения перемещения по координате:

 

Угол поворота второго отрезка связан с приращением перемещения по координате:

 

Этот, угол, однако, зависит не только от деформации срединной поверхности, но и от поворота оболочки как жесткого целого вокруг ее оси. Действительно, при повороте оболочки на некоторый угол точка получит перемещение по окружности, равное, а соседняя с ней точка – перемещение. Разность окружных перемещений точек и, разделенная на длину отрезка, дает ту часть угла поворота отрезка, которая не зависит от деформации срединной поверхности:

 

Вычитая из найдем угол поворота отрезка меридиана, связанный с деформацией сдвига срединной поверхности:

 

Сумма углов и дает угловую деформацию

 

Уравнения (9)–(11) устанавливают зависимость между деформациями,, и компонентами перемещений.

Выразим деформации через усилия. Согласно обобщенному закону Гука:

 

 

 

С учетом этих равенств уравнения (9) – (7.11) принимают вид

 

 

 

Если усилия, и уже найдены, то в полученной системе трех уравнений (12) – (14) содержатся только три неизвестных. Преобразуя эту систему к одному уравнению с одним неизвестным, получим дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, решение которого также должно удовлетворять граничным условиям на краях оболочки.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1253; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.