Полный дифференциал функции двух переменных

По определению полного приращения функции имеем:

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого в правой части равенства прибавим и вычтем

Выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (второй аргумент сохраняет одно и то же значение). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

где заключено между и

Выражение, стоящее во второй квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (значение остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

где заключено между и

Внося выражения и в равенство получим:

Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то

(так как и заключены, соответственно, между и и

то при и и стремятся, соответственно, к и

Равенства можно переписать в виде:

соотношение принимает вид:

и следует, что если функция имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

Равенство

Для случая большего числа переменных формулы и принимают вид:

Если задана функция где в свою очередь зависят от одного аргумента то, по сути дела, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождении производной Эта производная вычисляется по первой из формул

но так как функции только одного аргумента то частные производные обращабтся в обыкновенные, кроме того, поэтому

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие от частной производной).

Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами и Подставим выражения и определенные равенствами и Тогда функция от имеет производную:

Пример. Уравнение определяет как неявную функцию от Здесь

Следовательно, Аналогично

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.

Дата добавления: 2014-01-03