Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Полный дифференциал функции двух переменных





По определению полного приращения функции имеем:

 

Предположим, что в рассматриваемой точке имеет непрерывные частные производные. Выразим через частные производные. Для этого в правой части равенства прибавим и вычтем

 

Выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (второй аргумент сохраняет одно и то же значение ). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

 

где заключено между и

Выражение, стоящее во второй квадратной скобке равенства можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного (значение остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим:

 

где заключено между и

Внося выражения и в равенство получим:

 

Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то

 

(так как и заключены, соответственно, между и и

то при и и стремятся, соответственно, к и

Равенства можно переписать в виде:

соотношение принимает вид:

и следует, что если функция имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал

 

Равенство

Для случая большего числа переменных формулы и принимают вид:

 

Если задана функция где в свою очередь зависят от одного аргумента то, по сути дела, является функцией только одного переменного и можно ставить вопрос о нахождении производной Эта производная вычисляется по первой из формул

 

но так как функции только одного аргумента то частные производные обращабтся в обыкновенные, кроме того, поэтому

 

Эта формула носит название формулы для вычисления полной производной (в отличие от частной производной ).

Найдем далее полный дифференциал сложной функции, определенной равенствами и Подставим выражения и определенные равенствами и Тогда функция от имеет производную:

 

Пример. Уравнение определяет как неявную функцию от Здесь

Следовательно, Аналогично

Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и находятся их частные производные.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 730; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.