Понятие первообразной. Неопределенный интеграл

Лекция 6. Начала интегрального исчисления, понятие о дифференциальных уравнениях.

Будем постоянно помнить о том, что основная идея математического анализа — это рассмотрение произвольного функционального соотношения как линейного в бесконечно малом. Насколько мощным является это рассмотрение, вы могли уже почувствовать, когда исследовали функции с применением дифференцирования. Но великий мыслитель Ньютон, оценив силу дифференциального исчисления, не мог не задуматься над обратной операцией — а что, если мы попытаемся восстановить поведение функции, зная, что происходит на бесконечно малом уровне? Ведь дифференциал — это не просто линейная часть приращения функции, но главная его часть! Значит, если мы сумеем грамотно распорядиться превращением бесконечно малых соотношений на уровне дифференциалов в конечные соотношения, т.е. проделаем операцию, обратную дифференцированию, то восстановим всю возможную информацию о функции, «спрятанную» в дифференциальной форме. Отсюда следует классическое определение первообразной, которое было в строгой форме дано уже после Ньютона, но по содержанию ничем от его «флюэнт» не отличается.

В принципе множество значений аргумента, при которых определяется первообразная, не имеет решающего значения. В этом смысле требования к области определения функции, для которой мы ищем первообразную, существенно более мягкие, чем при отыскании производной.

Теперь мы уже вплотную подошли к понятию неопределенного интеграла, которое и определим немедленно.

Теперь вернемся к вопросу о возможности нахождения интеграла от данной функции. Как мы помним, не всякая непрерывная на данном интервале функция дифференцируема. С интегрированием дело существенно получше.

Однако выражать слишком уж бурную радость по этому поводу было бы несколько преждевременно. Ведь это означает, что объем работы по вычислению неопределенных интегралов радикально превышает соответствующий объем работы по вычислению производных. Не случайно заявление «он даже дифференцировать не умеет» является величайшим уничижением для человека с высшим образованием, но вот насчет умения интегрировать таких заявлений не просматривается. Сожаление по поводу того, что «интеграл не берется» скорее является признанием беды, а не вины. Тем более уважительным является отношение к товарищу, который успешно справился со всеми заданиями, где надлежит вычислить специально подобранные (в воспитательных целях) неопределенные интегралы. Таблица производных от основных элементарных функций умещается в тоненькую брошюрку. Таблица интегралов требует крупноформатного гроссбуха в тысячу страниц. Такова жизнь инженера!

На прошлой лекции мы привели таблицу основных производных. Каждую формулу из этой таблицы можно прочитать «задом наперед», т.е. записать таблицу основных табличных интегралов. Но прежде установим несколько важнейших свойств неопределенного интеграла, необходимых для дальнейшей деятельности.

Легко видеть, что оператор интегрирования, аналогично оператору дифференцирования, образует линейное функциональное пространство. Мы снова встречаемся с идеей, пронизывающей весь математический анализ, только теперь она охватывает не только область бесконечно малых величин, но устанавливает условия, при которых можно распространять ее влияние и на конечные величины.

Выпишем теперь таблицу основных интегралов (обращенную таблицу производных).

Как видно, эта таблица не отличается большой полнотой. Поэтому техника интегрирования (или «взятия интегралов», выражаясь на классическом студенческом жаргоне, вошедшем и в классическую терминологию) содержит ряд приемов, позволяющих существенно облегчить нелегкую работу.

Во-первых, можно действовать непосредственно, пользуясь основными пятью свойствами оператора интегрирования. Если подынтегральная функция представляется в виде линейной комбинации функций, сводимых к табличным, то итогом применения указанных свойств будет:

Иногда можно свести подынтегральную функцию к виду полного дифференциала. Этот прием эффективен в случае представления подынтегральной функции в виде произведения («факторизации»):

Указанные приемы имеют достаточно ограниченное применение. Представление подынтегральной в виде линейной комбинации достаточно тривиально и работает полностью только в простейших случаях. Сведение к виду полного дифференциала тоже применяется относительно редко, поскольку требует преобразования функции f(x) к виду f(φ(x)), что может существенно усложнить подынтегральное выражение и не приблизить к цели, а еще больше отдалить от нее. Поэтому наиболее распространенным методом взятия интегралов является замена переменной.

Большинство интегралов, входящих в классические «гроссбухи» (например, справочники И.С. Градштейна и И.М. Рыжика или И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева), вычислено именно таким способом.

Часто весьма полезным оказывается метод интегрирования по частям, представляющий собой прочитанную «задом наперед» формулу дифференцирования произведения двух функций. Именно,

Дата добавления: 2014-01-03