Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Среднеквадратическое отклонение ДСВ: определение, сущность, свойства


Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Доказательство.

Доказательство.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (C) = 0. (11)

D(C) = M ((C – M(C)) ²) = M ((C – C) ²) = M(0) = 0.

Следовательно, дисперсия не изменится, если к случайной величине прибавить константу.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C²D(X). (12)

Доказательство.

D (CX) = M ((CX – M (CX)) ²) = M ((CX – CM(X)) ²) = M (C²(X – M(X)) ²) = C²D(X).

 

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (13)

D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y)) ² =

= M(X²) + 2M(X)M(Y) ++ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) =

= (M(X²) – M²(X)) + (M (Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X – Y) = D(X) + D(Y). (14)

Доказательство.

D(X – Y) = D(X) + D (-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать .

Определение 4. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

. (15)

Для упрощения записей часто пользуются сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, иногда опускают значок «х» у и и пишут просто σ и D.



Пример 3. В задаче 6 средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно

Задача 7. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие A, вероятность которого равна p. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A (характеристическая случайная величина события A). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины A имеет вид:

 

xi
pi q p

 

где q = 1– p – вероятность непоявления события .

По формуле (1) находим математическое ожидание величины X:

.

Дисперсию величины X определяем по формуле (8):

,

откуда

.

 

Задача 8. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина X – число попаданий. Определить характеристики величины X: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

 

xi
pi 0,216 0,432 0,288 0,064

 

Вычисляем числовые характеристики величины X:

 

Задача 9. Производится ряд независимых опытов до первого появления события A. Вероятность события A в каждом опыте равна p . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа опытов, которое будет произведено.

 

Решение. Ряд распределения величины X имеет вид:

 

xi i
pi p qp q2p qi-1p

 

В задаче 2 найдено математическое ожидание величины X:

Для определения дисперсии величины X вычислим сначала величину α2 - второй начальный момент X:

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на q ряд:

Получим:

Дифференцируя этот ряд по q, имеем:

Умножая на , получим:

По формуле (7) выразим дисперсию:

откуда

Задача 10.Дан массив из тысячи случайных чисел X, состоящий из единиц с чередованием знака:

1, -1, 1, -1, … , 1, -1.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X. Построить график функции распределения.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дисперсия ДСВ: определение, сущность, свойства | ТБУЮЕФ ПФЧЕТУФЙК ФТХВ

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 2124; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.039 сек.