Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Степенно-показательной функции

Логарифмическое дифференцирование. Производная

Лекция № 7

Тема: «Производные высших порядков»

 

1.Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно - показательной функции. 2. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически 3. Производные высших порядков 4. Производная второго порядка и её физический смысл    

 

О.1.1. Степенно-показательной функцией (показательно-степенной или сложной показательной) называется функция вида где и

основание и показатель степени являются функциями от , имеющими в данной точке производные и , , т.е.

.

Т.1.1. Если и дифференцируемые функции, то - функция дифференцируемая.

 

Доказательство.

 

Прологарифмируем функцию по основанию . Так как и дифференцируемы, то функция

так же имеет производную.

Продифференцируем полученное равенство по переменной :

,

откуда .

Подставим , получим:

;

или (1)

 

 

О.1.2. Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию ), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат - логарифмической производной данной функции.

Замечание. Производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое получается, если функцию дифференцировать как степенную функцию, считая , а - переменной; а второе слагаемое – если функцию дифференцировать как показательную функцию, считая , а - переменной от .

Логарифмическое дифференцирование может быть применено для отыскания производных не только степенно-показательных функций, но и таких, непосредственное дифференцирование которых громоздко (произведение большого числа сомножителей, радикалы, дроби и т.д.).

 

Примеры:

1) . Найти .

Решение.

;

. Отсюда

.

Если воспользоваться выражением (1), то получится такой же результат.

2) Найти .

Решение

Прологарифмируем предварительно данную функцию:

а теперь дифференцируем:

Умножая на и подставляя его значение, получим:

 

 

2. Дифференцирование функций, заданных неявн о

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Особенности учета налогоплательщиков при выполнении соглашений | И параметрически
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 889; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.