Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

И параметрически

 

2.1. Дифференцирование функций заданных неявно

 

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана уравнением , т.е. уравнение не разрешено явно относительно переменной .

О.2.1.Функция, заданная уравнением

(2)

называется заданной неявно , если оно обращается в тождество при замене на на некотором промежутке , т.е.

Считаем, что условия существования и дифференцируемости неявной функции выполнены (теорема будет сформулирована в теме «Функции нескольких переменных») т.е. уравнение (2) определяет некоторую функцию.

Например: - уравнение окружности определяет функцию , которая будучи подставленной в уравнение приведет его к тождеству. Однако это возможно не всегда.

Правило дифференцирования неявной функции.

Для нахождения производной функции, заданной неявно, нужно продифференцировать уравнение (2) помня, что является функцией от и его производная равна . Затем разрешить полученное уравнение относительно .

Производная неявной функции сама является функцией неявной.

Замечание 2. Термины «явная функция», «неявная функция» характеризуют не способы задания функции, а характер зависимости от . Каждая явная функция , может быть представлена как неявная:

.

 

Пример. Найти производную функции

.

 

Решение.

Функция задана неявно. Дифференцируем данное уравнение по помня, что есть функция от , т.е. , получим:

откуда

 

2.2. Дифференцирование функций заданных параметрически

 

В геометрии при изучении линий на плоскости и в пространстве мы познакомились с их параметрическими уравнениями. Параметрическое задание кривых широко применяется в механике. Если в плоскости движется некоторая материальная точка и известны законы движения проекций этой точки на оси координат

(3)

где параметр есть время, то уравнение (3) есть параметрическое уравнение траектории движущейся точки. Исключая из (3) параметр , получим уравнение траектории в форме (в явном виде) или ( в неявном виде).

О.2.2. Функция называется заданной параметрически, если и аргумент и функция есть функции одной и той же вспомогательной переменной - параметра .



( (3) - параметрическое задание функции ).

Отыскание из системы (3) непосредственной связи между и без участия переменной называется исключением параметра.

Итак, пусть функция задана параметрически системой (3), где .

Предположим, что функции и дифференцируемы и функция имеет обратную , которая также дифференцируема. Тогда заданную параметрически функцию можно рассматривать как сложную функцию где , а - промежуточный аргумент.

По правилу дифференцирования сложной функции получим:

(4)

На основании теоремы о дифференцировании обратной функции

Подставляя в равенство (4), получим

(5)

Полученная формула (5) дает возможность находить производную параметрически заданной функции не исключая параметра.

 

Пример. Функция задана параметрически уравнениями:

Найти .

 

Решение

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Степенно-показательной функции | Производные высших порядков

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 293; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.02 сек.