Характеристики центра распределения

К характеристикам центра распределения относятся средняя величина, мода, медиана.

Средняя величина характеризует типичный размер признака, даёт обобщающую характеристику всего многообразия его индивидуальных значений.

По данным ряда распределения средняя величина определяется как арифметическая взвешенная.

Формула расчёта средней величины на основе частот ряда распределения имеет следующий вид:

(7.1)

Если вместо частот в процессе вычисления средней величины по данным ряда распределения используются частости, то формула расчёта запишется:

(7.2)

При исследовании интервальных рядов предполагается равномерное распределение элементов совокупности в пределах каждого интервала. Поэтому в качестве варианта х используют середину интервала. При этом ширину открытого интервала условно считают равной ширине соседнего закрытого интервала. Данная ситуация представлена в таблице 7.3. После определения середины каждого из интервалов, в том числе открытых, производим расчёт средней величины по формуле 7.1:

Таким образом, средняя по предприятию выработка 1 рабочего составляет 1093,33 кг.

Мода (Мо) – это наиболее распространённое значение признака.

В дискретном вариационном ряду мода – это вариант, который имеет наибольшую частоту (частость). В интервальном ряду по такому же принципу определяется модальный интервал, а конкретное модальное значение внутри интервала вычисляется по формуле:

, (7.3)

где – нижняя граница модального интервала;

h – ширина интервала;

– частоты (частости) модального, предмодального и послемодального интервалов соответственно.

Определим модальную выработку на предприятии по данным таблицы 7.3:

.

Таким образом, на данном предприятии наиболее часто встречаются рабочие, средняя дневная выработка которых составляет 700 кг.

Поскольку мода не зависит от крайних значений признака, то её целесообразно использовать в том случае, если ряд распределения имеет неопределённые границы.

Характеристикой центра распределения является также медиана (Ме).

Медиана – значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда и делит его пополам – на две равные по объёму части.

Таким образом, у одной половины единиц совокупности значение варьирующего признака меньше медианы, у другой – больше.

Если совокупность, которую мы исследуем, содержит нечётное число единиц, значение медианы имеет единица совокупности, расположенная в середине ранжированного ряда.

Если ранжированный ряд имеет чётное число единиц, то ни одна из них не будет иметь значения медианы. Медиана в этом случае равна половине суммы двух значений признаков единиц совокупности, которые занимают среднее положение в ранжированном ряду.

Для вычисления медианы в рядах распределения используют кумулятивные частоты или частости, на основе которых определяется номер той единицы совокупности, которая имеет значение медианы.

В дискретном ряду медианой будет значение признака, первая кумулятивная частота (частость) которого равна или превышает половину объёма совокупности. В интервальном ряду по этому принципу определяют медианный интервал, а значение медианы внутри интервала вычисляют по формуле:

где – нижняя граница медианного интервала;

- половина объёма совокупности;

– кумулятивная (накопленная) частота (частость) предмедианного интервала;

– частота (частость) медианного интервала.

Рассмотрим расчёт медианы на основе данных о распределении рабочих по средней дневной выработке (таблица 7.3):

= 1000 кг.

Итак, на предприятии у половины рабочих выработка менее 1000 кг, а у половины – более.

Таким образом, мода и медиана, в отличие от средней арифметической, определяются не на основе всех значений показателя у единиц совокупности, и их величина не зависит от крайних значений признака.

Во многом значения моды и медианы обусловлены ​​величиной интервалов группировки.

Если распределение по форме приближается к нормальному, то между средней арифметической, модой и медианой существует следующее приближенное равенство:

Или

Это соотношение играет важную роль для характеристики формы распределения, что будет рассмотрено ниже.

Определение моды и медианы, наряду со средней величиной, имеет особое практическое значение.

Например, в процессе планирования объёма производства и реализации одежды, обуви ориентируются на наиболее распространённый размер, т.е. модальный.

Медиана имеет минимальное свойство, которое заключается в том, что сумма абсолютных отклонений вариантов от медианы – величина минимальная, т.е. меньше суммы абсолютных отклонений от любой другой величины. Это свойство медианы используется при проектировании размещения остановок городского транспорта, торговых и бытовых предприятий, так как только медиана даёт возможность определить наименьшее расстояние до этих объектов.

Дата добавления: 2014-01-03