Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим сначала уравнение второго порядка

. (2.15.1)

Здесь числовые коэффициенты.

Будем искать частное решение уравнения (2.15.2) в виде . Вычислим производные . Подставляя результаты в уравнение (2.15.1), находим

,

или

. (2.15.2)

Уравнение (2.15.2) называется характеристическим уравнением для уравнения (2.15.1). Корни этого уравнения вычисляются по формуле

, (2.15.3)

и при этом возникает три случая:

1. Пусть дискриминант квадратного уравнения строго положителен . Тогда уравнение (2.15.2) имеет два различных действительных корня , а уравнение (2.15.1) имеет два частных решения . С помощью определителя Вронского легко проверяется их линейная независимость. В самом деле

.

Таким образом, общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.4)

2. Пусть дискриминант квадратного уравнения равен нулю . Тогда уравнение (2.15.2) имеет один действительный корень , а уравнение (2.15.1) имеет одно частное решение . Покажем, что вторым частным решением в этом случае является функция . Вычислим производные и подставим их в уравнение (2.15.1)

,

или

.

Полученное равенство выполняется для всех значений . С помощью определителя Вронского легко проверяется линейная независимость частных решений и . В самом деле

.

Таким образом, в этом случае общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.5)

3. Пусть дискриминант квадратного уравнения строго отрицателен . Тогда уравнение (2.15.2) не имеет действительных корней. Его решение можно представить в виде

Здесь обозначено , а – мнимая единица. Такие корни квадратного уравнения называют комплексными или комплексно–сопряженными.

В этом случае уравнение (2.15.1) имеет два частных решения (проверить самостоятельно)

.

С помощью определителя Вронского легко проверяется их линейная независимость(проверить самостоятельно).

Таким образом, общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.6)

Полученные результаты для уравнения второго порядка легко обобщаются на аналогичные уравнения любого порядка

. (2.15.7)

Здесь числовые коэффициенты. Характеристическое уравнение для уравнения (2.15.7) имеет вид

. (2.15.7)

При решении уравнения (2.15.7) могу возникнуть четыре варианта:

1. если – простой корень уравнения (2.15.7), то в общем решении ему отвечает слагаемое вида

,

2. если – корень уравнения (2.15.7) кратности , то в общем решении ему отвечает слагаемое вида

3. если – простая пара комплексных корней уравнения (2.15.7), то в общем решении ей отвечает слагаемое вида

4. если – пара комплексных корней уравнения (2.15.7) кратности , то в общем решении ей отвечает слагаемое вида

Примеры:

1. Решить уравнение .

2. Решить уравнение .

3. Решить уравнение .

4. Решить уравнение .

Дата добавления: 2014-01-03