Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами





Рассмотрим сначала уравнение второго порядка

. (2.15.1)

Здесь числовые коэффициенты.

Будем искать частное решение уравнения (2.15.2) в виде . Вычислим производные . Подставляя результаты в уравнение (2.15.1), находим

,

или

. (2.15.2)

Уравнение (2.15.2) называется характеристическим уравнением для уравнения (2.15.1). Корни этого уравнения вычисляются по формуле

, (2.15.3)

и при этом возникает три случая:

1. Пусть дискриминант квадратного уравнения строго положителен . Тогда уравнение (2.15.2) имеет два различных действительных корня , а уравнение (2.15.1) имеет два частных решения . С помощью определителя Вронского легко проверяется их линейная независимость. В самом деле

.

Таким образом, общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.4)

2. Пусть дискриминант квадратного уравнения равен нулю . Тогда уравнение (2.15.2) имеет один действительный корень , а уравнение (2.15.1) имеет одно частное решение . Покажем, что вторым частным решением в этом случае является функция . Вычислим производные и подставим их в уравнение (2.15.1)

,

или

.

Полученное равенство выполняется для всех значений . С помощью определителя Вронского легко проверяется линейная независимость частных решений и . В самом деле

.

Таким образом, в этом случае общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.5)

3. Пусть дискриминант квадратного уравнения строго отрицателен . Тогда уравнение (2.15.2) не имеет действительных корней. Его решение можно представить в виде

Здесь обозначено , а – мнимая единица. Такие корни квадратного уравнения называют комплексными или комплексно–сопряженными.

В этом случае уравнение (2.15.1) имеет два частных решения (проверить самостоятельно)

.

С помощью определителя Вронского легко проверяется их линейная независимость(проверить самостоятельно).

Таким образом, общим решением уравнения (2.15.1) является функция

. (2.15.6)

Полученные результаты для уравнения второго порядка легко обобщаются на аналогичные уравнения любого порядка



. (2.15.7)

Здесь числовые коэффициенты. Характеристическое уравнение для уравнения (2.15.7) имеет вид

. (2.15.7)

При решении уравнения (2.15.7) могу возникнуть четыре варианта:

1. если – простой корень уравнения (2.15.7), то в общем решении ему отвечает слагаемое вида

,

2. если – корень уравнения (2.15.7) кратности , то в общем решении ему отвечает слагаемое вида

3. если – простая пара комплексных корней уравнения (2.15.7), то в общем решении ей отвечает слагаемое вида

4. если – пара комплексных корней уравнения (2.15.7) кратности , то в общем решении ей отвечает слагаемое вида

Примеры:

1. Решить уравнение .

2. Решить уравнение .

3. Решить уравнение .

4. Решить уравнение .





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 236; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.