Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных

Рассмотрим ДУ второго порядка

. (2.16.1)

Предположим, что известно общее решение

, (2.16.2)

соответствующего однородного уравнения

. (2.16.3)

Для решения неоднородного уравнения (2.16.1) выполним замену переменной

. (2.16.4)

В отличие от формулы (2.16.2) здесь – некоторые функции – вариации произвольных постоянных. Поскольку вместо одной искомой функции появились две – , то на них можно будет впоследствии наложить одно вспомогательное упрощающее условие. Вычислим производную от функции (2.16.4)

. (2.16.5)

Воспользуемся возможностью наложить упрощающее условие на и примем

. (2.16.6)

Тогда (2.16.5) запишется в виде

. (2.16.7)

Вычислим вторую производную

. (2.16.8)

Подставляя формулы (2.16.4), (2.16.7), (2.16.8) в уравнение (2.16.1), находим

или

Таким образом

, (2.16.9)

и относительно величин получаем систему линейных уравнений (2.16.6), (2.16.9).

(2.16.10)

Решая эту систему относительно , получим

.

 

Пример: Решить уравнение .

Решение:

1. Запишем решение соответствующего однородного уравнения.

2. Составим систему (2.16.10).

По формулам Крамера, находим

 

Таким образом, получаем общее решение

или после преобразования

.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение произвольного порядка

, (2.16.11)

решается методом вариации произвольных постоянных по описанной выше схеме. Для уравнения (2.16.11) система (2.16.10) принимает вид

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения произвольного порядка | Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 446; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.