Топологические матрицы графов

Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей.

Узловая матрица (А). Рассмотрим направленный граф электрической цепи. Составим и заполним таблицу согласно правилам: - если ветвь графа направлена от узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается +1; - если ветвь графа направлена к узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается −1; - если ветвь графа не связана с узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается 0.

 

Таблица

У з л ы	В е т в и
	+1			+1		−1
	−1	+1			+1
		−1	−1			+1
			+1	−1	−1

 

Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:

А_П = ,

которая и определяет схему электрической цепи.

Из матрицы А_П следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, поэтому одна из ее строк является зависимой. В этом случае матрицу А_П заменяют матрицей Апутем вычеркивания любой строки из матрицы А_П. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль. Тогда размер матрицы Аравен . В нашем случае размер матрицы А будет: .

 

 

Контурная матрица (В). Данный граф имеет три главных контура. Направления контуров соответствуют направлениям ветвей связи:   - первый контур образован ветвями дерева 5,4 и ветвью связи 1;   - второй контур образован ветвями дерева 3,5 и ветвью связи 2;   - третий контур образован ветвями дерева 4,3и ветвью связи 6.

I

II

III

Составим соответствующую таблицу:

Контуры	В е т в и
I	+1			−1	+1
II		+1	−1		−1
III			+1	+1		+1

 

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных контуров (контурная матрица):

В = .

 

Размер контурной матрицы В: .

 

Матрица главных сечений (Q). Для графа и выбранного дерева с ветвями 1,5,2составим таблицу согласно правилам:   - если в данном сечении ветвь связи имеет то же направление что и дерева, то в клетку пересечений вписывается +1; - если направление ветви связи в данном сечении не совпадает с направлением ветви дерева, то в клетку пересечений вписывается −1; - ветви не входящие в данное сечение, отмечаются 0.

I

II

V

 

Таблица

Главное сечение	В е т в и
I	+1			+1		−1
II		+1	+1			−1
V			−1	+1	+1

 

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных сечений:

 

Q = .

Размер матрицы главных сечений Q: .

Матрица сопротивлений ветвей (ZB). В этой матрице номера строк и столбцов соответствуют номерам ветвей. Поэтому матрица сопротивлений, при отсутствии взаимных связей ветвей, всегда квадратная и по ее диагонали записывают собственные сопротивления ветвей. Такая матрица называется диагональной. Пусть задан граф, для которого требуется составить матрицу контурных сопротивлений.

I

II

III

Для заданного графа организуем контурную матрицу:

 

В = .

 

Матрица сопротивлений ветвей будет диагональной размером :

 

Z_B = .

Далее находим произведение матрицы Z_B и транспонированной (когда строки и столбцы меняются местами) контурной матрицы В^Т:

Z_BB^T = ∙ = .

 

Матрицу контурных сопротивлений определит тройное матричное произведение:

Z_K = B Z_BB^T = ∙ =

 

= .

 

Матрица проводимостей ветвей (Y_B) - эта матрица будет так же диагональной, но обратной относительно матрицы сопротивлений:

Y_B = .

Матрицу узловых проводимостей определит тройное матричное произведение:

Y_q = AG_BA^T

Матрицы источников ЭДС (Е) и токов (J) -это столбцовые матрицы, число строк в которых равно числу ветвей графа:

; .