Не является эффективной

Несмещенной;

2. Состоятельной;

Замечание. Случайная величинабудет иметь хи-квадрат распределение. Причем, с.в. и с.в. будут независимыми с.в.

Тема 12. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ

Интервальное оценивание параметров распределения сводится к построению доверительных интервалов. Пусть a некоторая достаточно большая вероятность. Интервал (q₁; q₂) со случайными границами, для которого выполняется следующее равенство

Р{f₁< q <f₂}=a,

называется доверительным интервалом для параметра q, а вероятность a – доверительной вероятностью. Традиционно в качестве a выбирают 0,9; 0,95; 0,997.

Те из вас, кто будет пытаться произносить это определение следующим образом: доверительный интервал это такой интервал, в котором с заданной вероятностью a будет находиться неизвестный параметр q, будут очень и очень неправы. «Случайность» находится в границах интервала, так как величины f ₁ и f ₂ являются случайными. Поэтому речь идет о том, что интервал со случайными границами «накрывает» неизвестный (детерминированный) параметр. Мы должны следующим образом четко понимать следующее: если мы будем достаточно большое число раз(в литературе иногда усиливают эмоции и пишут «бесконечное число раз») формировать выборки из одной и той же генеральной совокупности и строить доверительный интервал, то в a*100% случаев он будет содержать значение параметра q

В этом разделе рассмотрим технику нахождения границ доверительных интервалов для неизвестного математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины с параметрами m =Е[ξ] и s² =V [ξ].

В том случае, когда изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами m =Е[ξ] и s² =V [ξ], и параметр m неизвестен, а параметр s² неизвестен, чтобы построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания m следует воспользоваться следующим выражением:

· ,

· .

Через обозначено значение случайной величины, распределённой по закону Стьюдента с степенью свободы (значение симметричной квантили распределения порядка α), которое находят по таблицам Стьюдента по доверительной вероятности и числу степеней свободы (n-1) из условия:

· .

Если объем выборки достаточно велик, то при построении доверительного интервала вместо используют .

Построение доверительных интервалов для неизвестной дисперсии производят по одной из следующих формул:

·

· .

Через обозначено меньшее, а через большее значение случайной величины, распределённой по закону хи-квадрат с степенью свободы. Эти значения находят по таблицам критических точек распределения по доверительной вероятности и числу степеней свободы равному , из условия:

·.

Величины и - это критические точки распределения хи-квадрат порядка (1-α)/2 и (1+α)/2 соответственно.

ПРОВЕРКА статистичеСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистическими гипотезами называют предположения о виде закона распределения или о параметрах распределения наблюдаемой случайной величины ξ.

В обоих случаях наряду с основной гипотезой Н₀ всегда формулируется альтернативная гипотеза Н_а, конкурирующая с основной гипотезой в том смысле, что если основная гипотеза будет отвергнута, ее место займет альтернативная.

Правило, согласно которому проводят проверку основной гипотезы, называют статистическим критерием проверки гипотезы.

В частности, гипотезы можно формулировать:

● о виде распределения,

● о параметрах распределения,

● об однородности двух выборок,

● о независимости двух выборок,

● о случайности выборки.

При проверке статистической гипотезы могут возникнуть следующие ситуации:

1) Гипотеза верна и она принимается согласно выбранному критерию;

2) Гипотеза неверна и она отвергается согласно выбранному критерию;

3) Гипотеза верна, но она отвергается согласно выбранному критерию (происходит ошибка первого рода);

4) Гипотеза неверна, но она принимается согласно выбранному критерию (происходит ошибка второго рода).

Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают 1-α, чаще всего уровень значимости выбирают равным 0,05; 0,01; 0,005. Если через b обозначить вероятность ошибки второго рода, то величину 1-b называют мощностью критерия.

Статистический критерий не отвечает на вопрос, верна или нет проверяемая гипотеза.

Он помогает ответить на вопрос, противоречат или не противоречат выдвинутой гипотезе выборочные данные, можно ли принять или следует отвергнуть данную гипотезу.

При проверке гипотезы вся область значений изучаемой случайной величины разбивается на две области: область принятия основной гипотезы и критическую область. Если выборочная статистика (критерий) будет попадать в область принятия гипотезы, то принимают основную гипотезу Н₀. В случае попадания критерия в критическую область основную гипотезу Н₀ отклоняют, принимают альтернативную Н_а.

Наряду с уровнем значимости, при проверке статистических гипотез используют понятие р-value («р-значения»).

Величина р-value (p-значение) это величина наименьшего уровня значимости, соответствующего данному значению Z*, при котором основная гипотеза будет отклонена. Если значение р-value известно, то его сравнивают с заданным уровнем значимости. Если выполняется неравенство:

р-value < 1-a,

Дата добавления: 2014-01-03