Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Перестановки с повторениями


Перестановкой с повторениями называется размещение с повторениями по n из n элементов k-множества M (k£n) со следующим дополнительным условием: различные k элементов множества M повторяются соответственно n1,…,nk раз, 1£n1,…,nk£n, n1+…+nk=n.

Теорема 6. Число перестановок с повторениями различных k элементов n1,…,nk раз, 1£n1,…,nk£n, n1+…+nk=n, равно .

Доказательство. Пусть M – множество номеров перестановки с повторениями, одной из указанных в условии теоремы, M1,…,Mk – множества номеров с одинаковыми элементами, повторяющимися n1,…,nk раз соответственно. Тогда семейство множеств {M1,…,Mk} будет разбиением множества M на k блоков. Значит, каждой перестановке с повторениями соответствует вполне определенное разбиение множества M на k блоков. Ясно, что это соответствие является биекцией. Значит, искомое число перестановок с повторениями равно числу разбиений на k блоков .

Задача 3. Найти число всех перестановок букв слова «баобаб».

Решение. n1=3 (буква «б»), n2=2 ( «а»), n1=1 («о»), значит, .

3. Производящие функции. Формальный ряд a0+a1x+a2x2+…+akxk+… называется производящей функцией последовательности a0,a1,a2,…,ak,…

Производящая функция является или сходящимся рядом, или расходящимся рядом. Два расходящихся ряда могут быть равны как функции, но быть производящимися функциями различных последовательностей. Например, ряды 1+2x+22x2+…+2kxk+… и 1+3x+32x2+…+3kxk+… определяют одну и ту же функцию (равную 1 в точке x=1, неопределенную в точках x>1), но являются производящими функциями различных последовательностей.

Свойства производящих функций последовательностей:

сумма (разность) производящих функций последовательностей an и bn равна производящей функции сумме (разности) последовательностей an+bn;

произведение производящих функций последовательностей an и bn является производящей функцией свёртки последовательностей an и bn:

cn=a0bn+a1bn-1+…+an-1b1+anb0.

Пример 1. Функция является производящей для последовательности

Пример 2. Функция является производящей для последовательности 1, 1, 1, …

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция № 7. Основные вопросы, рассматриваемые на лекции: | Лекция № 8

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 189; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.