Композиция функций

Так как всякая функция – это бинарное отношение, можно строить композицию функций, как композицию бинарных отношений.

Если f: X® Z (z = f(x)) и g: Z® Y (y = g(z)), их композиция fg определяется обычным образом,

fg = {(x, y)| xÎX, yÎY, (zÎZ): (x, z)Î f и (z, y)Î g}.

Учитывая, что f и g – функции, можно записать fg = {(x, y)| xÎX, yÎY, (zÎZ): (x, z)Î f и (z, y)Î g} = {(x, y)| (z): z = f(x) и y = g(z)} = {(x, y)| y = g(f(x))}.

Теперь видно, что композиция функций – не просто бинарное отношение, а тоже функция, отображающая множество Х в множество Y.

Пример.

Пусть f(x) = 2x + 1, g(x) = .

Найти f g, gf и f f. Указать области определения и области значений этих функций.

Решение.

(f g)(x) = g(f(x)) =,, (f g)(x) ³ 0;

(gf)(x) = f(g(x)) = 2+1,, (gf)(x) ³ 1.

Композиция - некоммутативная операция,

fg(x) ≠ gf(x).

Покажем, что для композиции справедлив закон ассоциативности.

Пусть f, g, h - три функции с согласованными областями определений и значений, так что их композицию можно найти. Тогда

(f g)h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x)))

f(gh)(x)= (gh)(f(x)) = h(g(f(x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций. Та единственная функция, которая есть результат композиции функций f₁, f₂, f₃, … , f_n (в указанном порядке), так и обозначается:

f₁ f₂ f₃ … f_n.

Пример.

Найти все композиции функций f₁ = x², f₂ = sin(x), f₃ = x³ – 1

f₁ f₂ f₃ = (sin(x²))³ – 1, f₁ f₃ f₂ = sin(x⁶ – 1), f₂ f₁ f₃ = sin⁶(x) – 1,

f₂ f₃ f₁ = (sin³(x)-1)², f₃ f₁ f₂ = sin(x³ – 1)², f₃ f₂ f₁ = sin²(x³ – 1).

Положим теперь, что f и g - биекции. Если z = f(x), то

– биекция. Если y = g(z), то z = – биекция. Выясним, какими свойствами обладает композиция биекций.

Утверждение.

Композиция взаимно однозначных функций – взаимно однозначная функция, при этом .

Доказательство.

1. в силу доказанного в лекции 1.4 свойства композиции всяких бинарных от ношений.

2. Допустим, что . Тогда g(f(x₁)) = g(f(x₂)) = y. В силу взаимной однозначности функции g f(x₁) = f(x₂). В силу взаимной однозначности функции f x₁ = x₂.