Композиция функций

Так как всякая функция – это бинарное отношение, можно строить композицию функций, как композицию бинарных отношений.

Если f: X ® Z (z = f (x)) и g: Z ® Y (y = g (z)), их композиция fg определяется обычным образом,

fg = {(x, y) | x Î X, y Î Y, (z Î Z): (x, z)Î f и (z, y)Î g }.

Учитывая, что f и g – функции, можно записать fg = {(x, y) | x Î X, y Î Y, (z Î Z): (x, z)Î f и (z, y)Î g } = {(x, y) | (z): z = f (x) и y = g (z)} = {(x, y) | y = g (f (x))}.

Теперь видно, что композиция функций – не просто бинарное отношение, а тоже функция, отображающая множество Х в множество Y.

Пример.

Пусть f (x) = 2 x + 1, g (x) = .

Найти f g, gf и f f. Указать области определения и области значений этих функций.

Решение.

(f g)(x) = g (f (x)) =,, (f g)(x) ³ 0;

(gf)(x) = f (g (x)) = 2 + 1 ,, (gf)(x) ³ 1.

Композиция - некоммутативная операция,

fg (x) ≠ gf (x).

Покажем, что для композиции справедлив закон ассоциативности.

Пусть f, g, h - три функции с согласованными областями определений и значений, так что их композицию можно найти. Тогда

(f g) h (x) = h (f g (x)) = h (g (f (x)))

f (gh)(x) = (gh)(f (x)) = h (g (f (x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций. Та единственная функция, которая есть результат композиции функций f ₁, f ₂, f ₃, …, f_n (в указанном порядке), так и обозначается:

f ₁ f ₂ f ₃ … f_n.

Пример.

Найти все композиции функций f ₁ = x ², f ₂ = sin(x), f ₃ = x ³ – 1

f ₁ f ₂ f₃ = (sin(x ²))³ – 1, f ₁ f ₃ f ₂ = sin(x ⁶ – 1), f ₂ f ₁ f ₃ = sin⁶(x) – 1,

f ₂ f ₃ f ₁ = (sin³(x) - 1)², f ₃ f ₁ f ₂ = sin(x ³ – 1)², f ₃ f ₂ f ₁ = sin²(x ³ – 1).

Положим теперь, что f и g - биекции. Если z = f (x), то

– биекция. Если y = g (z), то z = – биекция. Выясним, какими свойствами обладает композиция биекций.

Утверждение.

Композиция взаимно однозначных функций – взаимно однозначная функция, при этом .

Доказательство.

1. в силу доказанного в лекции 1.4 свойства композиции всяких бинарных от ношений.

2. Допустим, что . Тогда g (f (x ₁)) = g (f (x ₂)) = y. В силу взаимной однозначности функции g f (x ₁) = f (x ₂). В силу взаимной однозначности функции f x ₁ = x ₂.

Дата добавления: 2014-01-03