Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Композиция функций





Так как всякая функция – это бинарное отношение, можно строить композицию функций, как композицию бинарных отношений.

Если f: X® Z (z = f(x)) и g: Z® Y (y = g(z)), их композиция fg определяется обычным образом,

fg = {(x, y)| xÎX, yÎY, (zÎZ): (x, zf и (z, y g}.

Учитывая, что f и g – функции, можно записать fg = {(x, y)| xÎX, yÎY, (zÎZ): (x, zf и (z, y g} = {(x, y)| (z): z = f(x) и y = g(z)} = {(x, y)| y = g(f(x))}.

Теперь видно, что композиция функций – не просто бинарное отношение, а тоже функция, отображающая множество Х в множество Y.

Пример.

Пусть f(x) = 2x + 1, g(x) = .

Найти f g, gf и f f. Указать области определения и области значений этих функций.

Решение.

(f g)(x) = g(f(x)) =,, (f g)(x) ³ 0;

(gf)(x) = f(g(x)) = 2+1,, (gf)(x) ³ 1.

Композиция - некоммутативная операция,

fg(x) gf(x).

Покажем, что для композиции справедлив закон ассоциативности.

Пусть f, g, h - три функции с согласованными областями определений и значений, так что их композицию можно найти. Тогда

(f g)h(x) = h(f g(x)) = h(g(f(x)))

f(gh)(x)= (gh)(f(x)) = h(g(f(x)))

Закон ассоциативности справедлив для любого числа функций. Та единственная функция, которая есть результат композиции функций f1, f2, f3, … , fn (в указанном порядке), так и обозначается:

f1 f2 f3 fn.

Пример.

Найти все композиции функций f1 = x2, f2 = sin(x), f3 = x3 1

f1 f2 f3 = (sin(x2))3 1, f1 f3 f2 = sin(x61), f2 f1 f3 = sin6(x)1,

f2 f3 f1 = (sin3(x)-1)2, f3 f1 f2 = sin(x31)2, f3 f2 f1 = sin2(x31).

Положим теперь, что f и g - биекции. Если z = f(x), то

– биекция. Если y = g(z), то z = – биекция. Выясним, какими свойствами обладает композиция биекций.

Утверждение.

Композиция взаимно однозначных функций – взаимно однозначная функция, при этом .

Доказательство.

1. в силу доказанного в лекции 1.4 свойства композиции всяких бинарных от ношений.

2. Допустим, что . Тогда g(f(x1)) = g(f(x2)) = y. В силу взаимной однозначности функции g f(x1) = f(x2). В силу взаимной однозначности функции f x1 = x2.

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 5901; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.