Математическое понятие и его характеристики

Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия — одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и

предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы — формирование понятийного аппарата темы.

Понятие — форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.

Содержание понятия — это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия — множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Например, понятие треугольник соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие уравнение соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Существенные (характеристические) свойства — это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Мы имеем понятие о некоторой вещи, если знаем и можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе с тем достаточны для ее однозначного определения. Однако не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного опреде­ления требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и прини­мают за содержание понятия.

Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий: быть четырехугольником, иметь равные стороны, иметь равные углы. Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами.

Для понятия параллелограмм содержание будет представлено следующими свойствами:

—противоположные стороны равны и параллельны;

—противоположные углы равны;

—диагонали в точке пересечения делятся пополам и др.

Объем понятия параллелограмм представлен множествами следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты (схема 2).

Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем:

—указывается род, в который входит определяемое понятие;

—указываются видовые отличия и связь между ними.

Например, ромб — это параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон).

В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содер­жится в объеме другого понятия.

ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОНЯТИЙ

Формирование понятий — сложный психологический процесс, который осуществляется и протекает по следующей схеме:

ощущения -> восприятие -> представление -> понятие.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ра­нее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

—мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);

—выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

—формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Выделяют два пути формирования понятий (схема 3)

Объем понятия раскрывается с помощью классификации. Под классификацией понимают последовательное, многоступенчатое разделе­ние множества на классы с помощью некоторого свойства.

Классификация понятий — выяснение объема понятий, т.е. разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов. Правильная классификация понятий предполагает соблюдение следующих условий:

—классификация проводится по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации;

—понятия, получающиеся в результате классификации, — взаимно независимые;

—сумма объемов понятий, получающихся при классификации, равняется объему исходного понятия;

—в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и составное число. Такая классификация натуральных чисел, а также классификация треугольников по сторонам и углам (схема 4) позволяют наблюдать выполнение этих условий.

Схема 5. Схема четырехугольников

В методическом смысле полезными в обучении математике могут оказаться и схемы, на которых изображена зависимость изучаемых объектов. Например, в курсе планиметрии рассмотрим класс четырехугольников (схема 5).

Дата добавления: 2014-01-03