Понятие монотонной функции. Признаки монотонности

Лекция № 8

Тема: «Монотонность и экстремум функции»

1. Признаки монотонности 2. Максимум и минимум функции. Необходимое условие экстремума 3. Достаточное условие экстремума. Первое правило исследования на экстремум 4. Второе правило исследования на экстремум 5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке  

Рассмотрим монотонность функции и исследуем её с помощью первой производной. Предварительно вспомним определение возрастающей и убывающей функции.

О.1.1

Функция , определенная на сегменте (интервале) называется возрастающей на этом интервале, если из неравенства , где и - любые две точки интервала, следует неравенство. (Большим значениям независимой переменной, соответствует большее значение функции).

Введя обозначения и , заметим, что и имеют одинаковые знаки. Следовательно, для возрастающей функции отношение приращений функции и аргумента всегда положительно ,

(1)

(для возрастающей функции).

О.1.2.Функция , определенная на сегмента (интервале) называется убывающей на этом интервале, если из

неравенства , принадлежат сегменту, следует,

что .

В этом случае и имеют разные знаки, поэтому

. (2)

(для убывающей функции).

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции в интервале.

Т. 1.1.

(Необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая в интервале функция возрастает, то её производная не может быть отрицательной ни в одной точке этого интервала, т.е. для .

Доказательство

Пусть - возрастает на . Рассмотрим две точки и из ,

Тогда на основании (1) .

Переходя к пределу при , получим (на основании свойства функции, имеющей конечный предел в точке) . Т.к. функция по предположению дифференцируема, то и, следовательно .

Т.1.2.

(Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на интервале функция убывает, то её производная не может быть положительна ни в одной точке данного интервала т.е. , для .

Доказательство аналогично.

Рассмотрим геометрический смысл этих теорем. График возрастающей функции при движении вправо по оси абсцисс поднимается вверх. Касательные к графику функции образуют с - острые углы.

Или в некоторой точке касательная может быть параллельна оси Тангенсы острых углов положительны, и учитывая, геометрический смысл производной .

Аналогично, для функции убывающей, касательные образуют с положительным направлением оси тупые углы. Так как тангенсы тупых углов отрицательны, то .

Т.1.3.

Достаточное условие возрастания функции. Если непрерывная на интервале , функция имеет в любой внутренней точке этого интервала положительную производную, то эта функция возрастает на .

Доказательство

Пусть для всех . Рассмотрим два произвольных и из , причем . Напишем формулу Лагранжа применительно к сегменту , получим

.

Во всех точках , , поэтому и . Так как, кроме того , то . Следовательно, и левая часть , т.е. функция возрастает на .

Т.1.4.

Достаточное условие убывания функции. Если непрерывная на интервале функция в каждой внутренней точке этого интервала имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на .

Пример.

1)

- возрастающая функция.

2)

Дата добавления: 2014-01-03