Максимум и минимум функции

Необходимое условие экстремума.

О.2.1.

Точка называется точкой максимума функции, если существует такая -окрестность точки , что для всех выполняется неравенство .

Точки и - точки максимума, а точки и -точки минимума

О.2.2.

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех выполняется неравенство .

Оба определения требуют рассмотрения достаточно малой окрестности точки .

(min и max - экстремумы; отличать от «наибольшее» и «наименьшее» значения).

Т.2.1

(Необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то её производная при обращается в нуль, т.е. .

Доказательство

Пусть, например, функция имеет в точке -. На основании определения , должна существовать такая окрестность точки , что для всех т.е. - наибольшее значение в этой окрестности. Так как по условию функция имеет в точке производную , то и теорема Ферма,

.

Аналогично доказывается теорема и для минимальной функции.

Мы рассмотрим случаи, когда функция имела производную в точке экстремумам. Однако, могут встретиться случаи, когда в точке экстремума функция не имеет производную.

Например. 1) .

В точке производная не существует, но в ней функция имеет .

2) .

При не существует производная, но в точке функция имеет .

Поэтому дополним необходимое условие существования экстремума.

Т.2.2.

Если непрерывная функция имеет в точке экстремум, то производная функции или не существует.

Следует иметь в виду, что сформулированное условие является необходимым для существования экстремума, но не достаточным.

Например. , при , но экстремума нет в точке .

О.2.3.

Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует называется критической точкой.

Дата добавления: 2014-01-03