Основные расчетные схемы

Вычисление площадей плоских фигур

Лекция № 7, ВА-1, матан, 2 семестр

Тема. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, пути, пройденного телом при неравномерном движении

Определенный интеграл применяется при решении разнообразных практических задач. Одной из таких задач является задача вычисления площади плоской фигуры. Разбору решения таких задач посвящен настоящий параграф.

Рассмотрим расчетные схемы.

1⁰. Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху линией, на отрезке , снизу осью , с боков прямыми , (рис. 1.1).

(2.1)

Рис. 1.1 Рис. 1.2

2⁰. Фигура на отрезке расположена ниже оси . Функция (рис. 1.2), интеграл (2.1) также не больше нуля и по модулю равен площади криволинейной трапеции. Площадь вычисляем по формуле:

(1.2)

3⁰. Функция на отрезке изменяет знак конечное число раз, (рис.1.3).

Рис. 1.3

Интеграл по отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам, где функция не изменяет знак. Интеграл положителен, на отрезках, где и отрицателен, где . Интеграл по отрезку даст алгебраическую сумму площадей частей фигуры. Для получения суммы площадей в обычном смысле нужно вычислить интеграл:

(1.3)

4⁰. Фигура ограничена кривыми и ординатами (рис.1.4).

Рис. 1.4

При условии площадь ее вычисляем по формуле:

(1.4)

1.2. Примеры вычисленя площадей
плоских фигур

Проиллюстрируем применение формул (1.1) – (1.4) к решению практических задач.

Задача 1.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Фигура изображена на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Функция ограничена, имеет одну точки разрыва (), поэтому интегрируема. Площадь фигуры равна сумме двух определенных интегралов с пределами интегрирования: первый – и , второй – и . (Интеграл от данной функции вычислен в лекции № 5).

Задача 1.2. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Решение. Для построения фигуры найдем точки пересечения гиперболы и прямой. Решим систему уравнений:

Отсюда , и получаем точки пересечения гиперболы и прямой: . Рассматриваемая фигура представлена на рис 1.6. Пределы интегрирования: , прямая на отрезке расположена выше гиперболы , поэтому по формуле (1.4) получаем:

Задача 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью на отрезке .

Рис. 1.7

Фигура расположена выше оси на интервале и ниже оси на интервале (рис. 1.7). Поэтому воспользуемся формулой (1.3):

.

Разобьем фигуру на две части: от до и от до . Так как на промежутке , то на нем , и последний интеграл представлен в виде:

Задача 1.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Фигура представлена на рис. 1.8. Пределы интегрирования равны: , кривая расположена выше прямой на отрезке , поэтому площадь фигуры по формуле (14.4) равна:

Рис. 1.8

13.33.

Дата добавления: 2014-01-03