Лекция 1. 9

Явления переноса. До сих пор мы ограничивались рассмотрением равновесных состояний и обратимых процессов. Однако, многие практически важные физические явления обусловлены именно нарушением равновесия в рассматриваемой системе. Собственно неравновесное состояние системы можно определить как неравномерное распределение по объему, занимаемому системой, некоторой физической величины. Здесь возможны различные виды нарушения равновесия. Например, возможно неравномерное распределение концентрации молекул некоторого газа в рассматриваемом объеме, не одинаковое значение температуры в различных точках рассматриваемого объема, различные скорости упорядоченного движения частиц жидкости или газа в этом объеме и др. Выведенная по каким-либо причинам из положения равновесия, система, будучи предоставлена самой себе, стремится прийти в равновесное состояние (второе начало термодинамики). Этот процесс всегда сопровождается возникновением так называемого потока величины, исходно находящейся в неравновесном состоянии. Поток сохраняется до тех пор, пока система не придет в равновесное состояние.

Потоком какой-либо физической величины через поверхность называется количество этой величины, проходящей через поверхность в единицу времени.

Примером потока может служить поток жидкости через некоторую поверхность. Поток может быть положительным, отрицательным или равен нулю. Знак потока определяют по ориентации направления потока по отношению к некоторому выделенному направлению – некоторой оси. Если эти направления совпадают, то поток считается положительным, в противном случае поток считается отрицательным.

Поскольку поток представляет собой перенос в пространстве некоторой величины, соответствующие процессы были объединены в физике под общим названием явления переноса. К таковым в частности относятся явление переноса массы – диффузия, явление переноса тепла – теплопроводность и явление переноса импульса – вязкое трение. Остановимся на этих явлениях более подробно. Сразу же оговоримся, что будем рассматривать незначительные отклонения от равновесного состояния.

Явление диффузии. Диффузией называется обусловленное тепловым движением молекул самопроизвольное выравнивание концентраций в смеси нескольких различных веществ. Этот процесс характерен для твердых жидких и газообразных сред. Далее рассмотрим процесс диффузии применительно к газам. Предположим для простоты, что смесь состоит из двух газов, молекулы которых близки по массе () и эффективным сечениям (). Температуру смеси будем считать одинаковой всюду внутри рассматриваемого объема. В таком случае молекулы обеих компонент смеси будут иметь одинаковую среднюю скорость теплового движения

,

и обладать одной и той же средней длиной свободного пробега

,

где - концентрация молекул смеси, , - концентрация компонентов смеси.

Вычислим поток первой компоненты смеси, например, вдоль оси . Рассмотрим в связи с этим рис. 1, на котором схематично изображен поток молекул первой компоненты вдоль оси . Как мы видим, вследствие хаотичности теплового движения молекул вдоль выбранного направления (вдоль оси ) присутствуют два потока: по направлению и против направления оси. Результирующий поток, очевидно, будет равен

.

Как и при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов, будем придерживаться упрощенных представлений, согласно которым молекулы двигаются только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Тогда поток будет равен

. (1)

Аналогично,

. (2)

В этих выражениях и - некоторые эффективные значения концентрации первой компоненты смеси слева и справа от площадки .

Как видно из рис. 1, поверхность пересекут молекулы, претерпевшие последнее соударение на различных расстояниях от . Однако в среднем рассматриваемую поверхность пересекут молекулы, испытавшие последнее соударение на расстоянии, равном . Тогда выражение для результирующего потока принимает вид

.

Выражение в квадратных скобках ввиду малости можно представить в виде

.

Тогда

, (3)

где - коэффициент диффузии. С учетом выражений для и выражение для коэффициента диффузии принимает вид

. (4)

Таким образом, оказывается, что

.

Полученные выводы справедливы, очевидно, и для второй компоненты смеси.

Теплопроводность газа. Теплопроводностью называется явление переноса энергии теплового движения молекул газа, вызванное неравномерностью распределения температуры в рассматриваемой термодинамической системе. Как и в случае с явлением диффузии, для вывода соотношения для потока энергии воспользуемся молекулярно-кинетическими представлениями. Предположим, что в рассматриваемой системе имеется неравномерность распределения температуры вдоль оси (см. рис. 2). Как и раннее предположим, что вдоль и против направления оси двигается количество молекул

.

Сразу же отметим, что в отличие от предыдущего случая величина должно быть принято постоянным. Действительно, если предположить, что неодинаковы слева и справа от площадки , то наряду с переносом энергии имелся бы и поток вещества, т.е. диффузия. Однако мы условились рассматривать сейчас только явление переноса тепловой энергии, поэтому следует полагать . Так как , а , то условие означает, что , т.е. давление газа должно меняться пропорционально корню из термодинамической температуры.

Количество энергии, перенесенное в положительном направлении оси , равно

. (5)

Кинетическая энергия молекулы, как мы видели, может быть представлена в виде

.

Тогда (5) можно записать в виде

,

где и - некоторые эффективные значения температуры слева и справа от площадки . Эти значения соответствуют температурам, взятым на расстояниях, на которых молекулы в среднем претерпели последний удар перед прохождением площадки . Очевидно, что это расстояние равно . Тогда разность представима в виде (аналогично рассмотренному в явлении диффузии)

.

Тогда

.

Представим это соотношение в виде

Таким образом, мы получили, что . В итоге имеем

, (6)

где - коэффициент теплопроводности.

Анализ соотношения для коэффициента теплопроводности дает, что

.

Явление вязкого трения. Рассмотрим два соприкасающихся слоя газа двигающиеся параллельно друг другу со скоростями и соответственно (см. рис. 3). Упорядоченное движение молекул в слоях накладывается на их хаотическое тепловое движение, происходящее со средней скоростью . Вследствие этого движения молекулы переходят из одного слоя в другой и обмениваются между собой импульсом. Очевидно, что переход молекул из слоя, движущегося со скоростью в более быстрый слой, движущийся со скоростью приведет к тому, что в результате взаимодействия с более быстрыми молекулами из слоя II молекулы слоя I увеличат свой импульс. Соответственно импульс молекул слоя II уменьшится. Аналогично, переход части молекул из слоя II в слой I приведет к увеличению импульса молекул в первом слое. В результате такого взаимодействия происходит процесс переноса импульса, протекающий в целом в направлении от более быстрого слоя к более медленному. Результатом этого процесса является уменьшение скорости более быстрого слоя и увеличение скорости более медленного слоя. Такой результат взаимодействия можно представить как результат действия на слои равных по величине и противоположных по направлению (согласно третьему закону Ньютона) сил, которые называют силами вязкого трения. Из приведенного рассмотрения вытекает, что силы вязкого трения, приложенные к слоям, распределены по всей площади контакта этих слоев.

Как мы только что установили, вязкое трение сопровождается переносом импульса. Получим выражение для потока импульса между слоями газа, основываясь вновь на молекулярно-кинетических представлениях.

Как и ранее, количество молекул, проходящих в единицу времени через площадку перпендикулярно оси равно

.

Результирующий поток импульса через поверхность

.

Вновь представим разность в виде

.

Тогда

.

Итак

, (7)

где - коэффициент вязкости.

Анализ полученного соотношения дает, что

.

Дата добавления: 2014-01-03