Свойства числовых характеристик случайного вектора

1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это утверждение справедливо для любых случайных величин, зависимых и независимых. Оно верно для системы случайных величин.

2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

Если и – зависимые случайные величины, то утверждение неверно.

Из формулы (18) следует, что математическое ожидание произведения случайных величин и (зависимых или независимых) равно произведению их математических ожиданий плюс их ковариация, т.е.

.

3. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин и удвоенного корреляционного момента.

.

Если и – некоррелированные случайные величины, то и тогда дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

.

Если и – независимые случайные величины, то они некоррелированные.

4. Если и – независимые случайные величины, то

(22)

(23)

Преобразуем правую часть (22)

(24)

Из (23) и (24) следует (22).

5.

6.

На основании свойства 5 можно записать левую часть в виде

7. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не может превосходить единицу.

,

где .

Рассмотрим .

(25)

Учитывая, что , получим из (25) . Отсюда

и следовательно .

Рассмотрим теперь . Тогда

(26)

Отсюда и следовательно

Следовательно

8. Если и связаны строгой линейной функциональной зависимостью, то . Верно и обратное утверждение: если , то и и связаны строгой линейной функциональной зависимостью.

Пусть . Тогда и

Учитывая, что , получим

Следовательно,

Если случайные величины и связаны строгой линейной возрастающей зависимостью, то , если же они связаны линейной убывающей зависимостью, то .

Если случайные величины некоррелированы, в частности, если они независимы, то коэффициент корреляции равен нулю. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Из некоррелированности случайных величин не следует их независимость. Можно лишь утверждать, что они не связаны линейной зависимостью. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее линейная зависимость, чем ближе он к 0, тем слабее связь. Коэффициент корреляции – числовая характеристика, способная оценивать наличие статистической линейной связи между случайными величинами. Коэффициент корреляции не может оценить нелинейную связь между случайными величинами.

9. Определитель матрицы ковариаций неотрицателен.

, так как и следовательно .

Определитель матрицы ковариаций называется обобщенной дисперсией случайных величин и .

Дата добавления: 2014-01-03