Комплексная амплитуда

Комплекс гармонического колебания. Форма представления комплекса

Запишем мгновенные значения гармонического колебания a(t) в виде:

где

– фаза колебания.

Тогда комплекс колебания запишем как:

Такое представление называют записью комплекса в алгебраической форме.

В этих записях

– действительная часть комплекса;

– мнимая часть комплекса.

Другой вариант представления комплекса – запись комплекса в экспоненциальной форме. Для перехода к этой форме учтем одну из формул Л.Эйлера:

Согласно этой формуле можно записать, что

Выделим в показательной форме представления комплекса часть, не зависящую от времени. Для этого разделим экспоненту на два сомножителя, а именно:

Выражение

называют комплексной амплитудой. Она есть произведение амплитуды гармонического сигнала A_m на экспоненциальный множитель, учитывающий начальную фазу колебания j. В частном случае, когда начальная фаза равна нулю, т.е. при

j = 0

т.е. комплексная амплитуда совпадает с амплитудой.

Еще один сомножитель, зависящий от времени, а именно e ^jwt принято называть оператором вращения. Это вызвано тем, что функция e ^jwt есть уравнение движения точки, вращающейся на плоскости комплексных чисел по окружности единичного радиуса, имеющего центр в начале координат

Учитывая введенные обозначения, можно записать, что

и считать, что комплекс гармонического колебания есть произведение комплексной амплитуды на оператор вращения.

Коэффициент jw, присутствующий в экспоненциальной записи комплекса, называют мнимой угловой частотой.

Дата добавления: 2014-01-03