Урок 13. Гармонический режим последовательной резистивно - индуктивно-ёмкостной цепи

Тема: Примеры расчета режима линейных цепей методом комплексных амплитуд

Лекция 7

u

R

L

C

i

Пусть схема замещения цепи имеет вид:

Представим, что через цепь протекает ток силой

комплекс которого и комплексная амплитуда

Определим напряжение на всей цепи

имеющее комплекс и комплексную амплитуду

Согласно закону напряжений Кирхгофа

или

Заменим мгновенные значения процессов их комплексами и произведем необходимые действия над комплексами. Тогда:

или подробнее,

Сокращая обе части на оператор вращения и вынося за скобки общий сомножитель, получаем

В приведенной записи первое слагаемое в скобках нам известно. Это сопротивление резистора гармоническому току. Значит, остальные слагаемые тоже сопротивления. Соответственно, вся сумма в скобках тоже есть сопротивление. В отличие от ранее рассматривавшихся сопротивлений элементов она есть комплексная величина.

Назовем сумму в скобках комплексным сопротивлением цепи и обозначим как Z.

Итак, комплексное сопротивление

Введя понятие комплексного сопротивления цепи, приходим к следующим простым расчетным формулам:

или

Эти формулы отображают закон Ома в комплексной форме.

Применяя закон Ома, можем определить мгновенное значение искомого напряжения, выполняя п. 4 и п. 5 методики. Тогда

Чтобы получить окончательный результат расчета в наиболее удобном виде, исследуем свойства и формы записи комплексного сопротивления, а также его состав.

Начнем с рассмотрения второго слагаемого. Обозначим его как

и назовем комплексным индуктивным сопротивлением.

Модуль вводимого сопротивления является известным индуктивным сопротивлением

Поэтому

Представим это сопротивление в экспоненциальной форме записи.

Так как, согласно формулам Эйлера:

то

Значит, аргумент комплексного индуктивного сопротивления

Третье слагаемое

называют комплексным ёмкостным сопротивлением.

Представим его в различных формах записи:

где – емкостное сопротивление. Это модуль комплексного сопротивления.

С другой стороны

Значит, аргумент

Заметим, что аргументы вводимых комплексных индуктивного и ёмкостного сопротивлений являются упорядоченными разностями фаз между напряжением и силой тока элемента.

Рассмотрим также сумму комплексных сопротивлений реактивных элементов и. Тогда:

Назовем коэффициент при мнимой единице

реактивным сопротивлением цепи.

Реактивное сопротивление цепи есть действительная величина, которая может принимать различные знаки в зависимости от соотношения сопротивлений реактивных элементов. Введем модуль реактивного сопротивления (и комплексного реактивного сопротивления тоже!)

Тогда комплексное сопротивление

Определим возможные значения аргумента. Рассмотрим частные случаи:

1), т.е. X > 0 и X = x.

Тогда и

Получился аргумент как у идеального индуктора. Значит, вся реактивная цепь в данном случае есть идеальный индуктор:

L

C

L_Э

Такой случай называют индуктивной реакцией цепи.

2), т.е. X < 0 и X =- x.

Тогда и

как для идеального конденсатора. Значит, вся реактивная цепь является конденсатором:

L

C

C_Э

Это – ёмкостная реакция цепи.

3), и X = x = 0. В этом случае

L

C

и рассматриваемая цепь оказывается резистором.

Такой режим называют резонансом напряжений.

Итак, отмечаем, что комплексное сопротивление цепи

Это алгебраическая запись сопротивления.

Перейдем к экспоненциальной форме записи комплексного сопротивления и установим смысл модуля и аргумента.

Итак,

где

Значит, модуль комплексного сопротивления цепи есть отношение амплитуд напряжения на цепи и силы тока в ней.

С другой стороны

то есть модуль комплексного сопротивления, учитывает сопротивления всех элементов цепи. Его называют полным сопротивлением цепи.

Вычисляем аргумент комплексного сопротивления цепи.

Применяя экспоненциальную запись комплексного сопротивления, можно завершить в наиболее удобном виде вычисление мгновенных значений напряжения последовательной цепи.

Итак,

Напряжение тоже есть гармонический процесс. Его амплитуда и начальная фаза зависят от параметров всех элементов цепи.

В общем случае, начальная фаза напряжения

отличается от начальной фазы тока на угол, меньший 90°.

Дата добавления: 2014-01-03