Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Лекция n10




Процессы диффузии на границе раздела компонентов КМ

План лекции.

1.Движущие силы процесса диффузии.

2.Первый и второй законы Фика

3.Процесс проникновения диффундирующего элемента с поверхности вглубь изделия.

4.Диффузия из одного полубесконечного пространства в другое.

5.Определение коэффициента взаимной диффузии по методу Грубе и Еделе.

6.Метод Матано для определения коэффициента взаимной диффузии.

Процесс диффузии заключается в самопроизвольном стремлении системы к выравниванию концентрации, т.е. к увеличению энтропии за счет перемешивания. Однако, такое часто встречающееся определение строго говоря не верно. Истинной причиной, вызывающей перемещение частиц при диффузии, является разница химических потенциалов в различных точках системы, а не концентраций. Поэтому при наличии в системе других градиентов различие концентраций в кристалле в результате диффузия может расти.

Процессы диффузии в твердых телах происходят значительно медленнее, чем в жидкостях и газах, поэтому их заметили и стали изучать гораздо позже. Основные уравнения диффузии были написаны в 1855 году Фиком. Идея Фика заключалась в том, что проникновение растворенного вещества в растворитель аналогично проникновению теплоты в проводник тепла и с математической точки зрения для него могут быть использованы те же уравнения, что Фурье применял к задачам теплопроводности.

В соответствии с этой аналогией, если предположить, что диффузия происходит только в одном направлении (например, х) и что концентрация (с) растворенного вещества не зависит от у и z, можно записать, что количество растворенного вещества dq, которое проходит за время dτ через поверхность S имея концентрацию с(х), равно:

jх = - D(д c/ дх), где jх = dq/Sdτ - первое уравнение Фика для одномерной диффузии

где jх - плотность потока вещества;

D - коэффициент диффузии.

 

Второе уравнение Фика оценивает изменение концентрации диффундирующего вещества в пространстве и во времени:

- для D = const

- для D = D (c,τ)

 

Строго говоря, D не зависит от концентрации только для самодиффузии, однако если разности концентраций малы и можно ограничится приближенными вычислениями, пользуются первым выражением. Решение в том или ином виде этих уравнений позволяет определить коэффициент диффузии, по которому ведется расчет толщины зоны взаимодействия на границе раздела матрица-прочнитель, а также решить много других задач. Решить дифференциальное уравнение значит проинтегрировать его при определенных граничных условиях, которые должны быть грамотно заданы.

Рассмотрим более конкретный пример - процесс диффузионного проникновения элемента с поверхности вглубь изделия (например, при цементации).

В любой точке диффузионной зоны на расстоянии x от поверхности изделия концентрация твердого раствора с изменяется во времени τ в соответствии со вторым законом Фика;

 

В данном случае коэффициент диффузии D полагается постоянным.

 

.

Пусть на поверхности изделия поддерживается постоянная концентрация легирующего элемента Сп. Тогда по прошествии времени τ концентрация легирующего элемента по глубине будет соответствовать кривой(1). Так как кривая вогнута на участках x-x+dx, больше легирующего элемента будет в точке х, чем в точке x+dx, т.е. на каждом участке концентрация увеличивается с течением времени. В результате по прошествии времени τ2 > τ1 содержание легирующего элемента возрастает и кривая пройдет, как показано на рисунке (кривая 2). Это увеличение будет продолжаеться непрерывно. Такая система называется бесконечной, так как с практической точки зрения протяженность материала вдоль оси x является бесконечной даже если толщина тела, в которое проходит диффузия, не очень велика. Граничными условиями для решения уравнения диффузии будут следующие:

 

Учитывая эти условия и полагая D=const, решение уравнения Фика получаем в виде:

 

Величина называется функцией ошибок (еггог function), функцией Крампфа, интегралом ошибок Гаусса. Значения её берутся из таблиц. В случае, если диффузия идет в чистом металле,.

z erfz z erfz z erfz
    0.4 0.428 0.8 0.7421
0,1 0.1125 0.5 0.5205 1.0 0.8427
0,2 0.2227 0.6 0.6093 1.2 0.9103
0.3 0.3286 - - 1.5 0.9661

 

Из таблицы видно: при Z = 0 erf(Z) = 0, а при больших значениях Z erf(Z) →1. Поэтому, для любого времени выдержки при х=0 (поверхность изделия) и С(0,τ) =, а при удалении от поверхности и, следовательно, больших значениях x →1 и c(x,τ)→

С увеличением времени выдержки диффузионная зона расширяется, а содержание в ней диффундирующего элемента возрастает.

Рассмотрим другой пример. Очень длинный цилиндр с постоянным поперечным сечением разделен на два объема в середине плоскостью, перпендикулярной оси. В момент времени т = 0 в объеме 2 концентрация всюду равна Сг (при х>0), а в объеме 1 (х<0) концентрация диффундирующего вещества равна Ci. Время диффузии выбирается таким, чтобы изменения концентрации были хорошо заметны в середине цилиндра, а на

 

 

 

концах отсутствовали. Такие условия соответствуют диффузии в бесконечное пространство, а каждый из объемов представляет собой полубесконечное диффузионное пространство. В момент времени т = 0 имеется резкая граница с падением концентрации (между объемами 1 и 2).

Таким образом, граничные условия для данного типа задач будут выглядеть следующим образом:

 

Исходя из указанных предположений и считая, что D=const можно найтисоответствующее решение второго уравнения Фика опять же с помощью интеграла ошибок Гаусса:

 

 

Так, при z=0 erf(z)=0, при х=0 =0. Это означает, что С(х,τ) = С2/2 во время всего диффузионного процесса, т.е. в плоскости, разделяющей два пространства концентрация диффундирующего элемента постоянна и равна половине исходной:.. Тогда можно записать:

. Это уравнение было использовано Грубе и Еделе для решения задач иного типа, а именно, взаимной диффузии. В это уравнение подставлялись значения С, определенные экспериментально (например, для системы Cu-Ni), т.е. в формулу, не учитывающую концентрационную зависимость коэффициента диффузии подставлялись реальные значения, где эта зависимость учтена.

Более совершенный метод для определения коэффициента диффузии предложил Матано. Для решения второго уравнения Фика (где D - переменная велечина) он предложил использовать так называемую подстановку Больцмана. Смысл её состоит в том, что начальные и граничные условия, которым удовлетворяет уравнение диффузии, могут быть выражены через некоторую величину Для случая взаимодиффузии двух плоских полуограниченных образцов они выражены следующим образом:

Для τ=0:

 

Воспользовавшись подстановкой Больцмана получаем:

, т.е. подстановка Больцмана позволяет перейти от частных производных к полным, что облегчает решение этого дифференциального уравнения. Решение при заданных условиях имеет вид:

и для некоторого фиксированного τ (время высоеотемпературного изотермического отжига) окончательно получаем:

при условии, что

Последнее условие практические соответствует тому, что плоскость, являющаяся границей между диффузионными пространствами должна быть расположена в образце так, чтобы количество вещества, подходящего к ней с одной стороны, равнялось количеству вещества, уходящему с другой (т.е. чтобы в двух направлениях через неё проходили равные потоки вещества):

Определенная таким образом плоскость называется плоскостью Матано. Она не проходит больше там, где C = 50 %, но и не совпадает с первоначальной плоскостью раздела (кроме частных случаев).

Таким образом, для решения уравнения следует:

а) построить концентрационную кривую (по опытным данным);

б) определить графически значения dx/dc, для чего в точке, где определяется концентрация, провести касательную к кривой, определить её наклон и рассчитать обратную ему величину dx/dc;

в) определить площадь под кривой при изменении концентрации от 0 до С и выразить её в единицах cx.

Полученные таким образом величины подставляют в уравнение и находят D.

Следовательно,, метод Матано является графическим. Тем не менее, в частном случае, если образуется химическое соединение, его можно использовать и для аналитического решения.

На рисунках схематично пояснен процесс графического интегрирования, определения положения плоскости Матано и графического интегрирования.

 
Определение положения плоскости Матано графическим методом. XМ – координата плоскости Матано.
 
Определение величин dx/dc и графическим методом. Координата xотсчитывается от плоскости Матано

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1358; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.