Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Читайте также:
  1. Биологический смысл агрессии
  2. В отличие от гражданских прав и обязанностей в объективном смысле (т.е. когда речь идет об абстрактных предписаниях норм права, выраженных в различных нормативных правовых актах).
  3. В субъективном смысле под наследственным правом принято понимать право лица быть призванным к наследованию, а также его правомочия после принятия наследства.
  4. В узком смысле система гражданского законодательства
  5. В широком смысле система гражданского законодательства
  6. В-третьих. Исполнители стремятся убедиться в том, что все элементы определенного представления увязаны друг с другом.
  7. Вычисление двойного интеграла
  8. Вычисление определенного интеграла.
  9. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
  10. Геометрический и физический смысл производной
  11. Геометрический смысл дифференциала
  12. Геометрический смысл определенного интеграла

Тема: Механические и геометрические смыслы определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости

Лекция 9

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х – абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a<b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х0, х1, ..., b = хn0< х1<...< хn) разобьем на n частичных отрезков [х0; х1], [х1; х2], ..., [хn-1; хn]. Сила, действующая на отрезке [хi-1; хi], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = хi – хi-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = cii-1; хi]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [хi-1; хi], равна произведению F(ci)∙Δхi. Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δхi. Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

 


.

Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].

В этом состоит механический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности

γ(х):

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

 

Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).

Не следует думать, что условие непрерывности функции необходимо для того, чтобы у нее существовал определенный интеграл. Интеграл может существовать и у разрывной функции. Пусть, например, функция f(x), заданная на промежутке [a, b], равна нулю во всех точках этого промежутка, кроме конечного числа точек z1, z2, ..., zN. Составим для f(x) интегральную сумму σ.

Пусть из точек ξ0, ξ1, ..., ξn-1, входящих в определение σ, p точек совпадают с точками zi, а остальные отличны от них. Тогда в сумме σ будет лишь p слагаемых, отличных от нуля. Если наибольшее из чисел | f(zi) | (i = 1, 2, ..., N) есть K, то, очевидно,



| σ | ≤ KpλKNλ,

откуда ясно, что при λ → 0 будет и σ → 0. Таким образом, интеграл

существует и равен нулю.

Приведем теперь пример функции, не имеющей интеграла. Пусть φ(x) задана на промежутке [0, 1] так:

Если мы, составляя сумму σ, за точки ξk выберем числа иррациональные, то окажется σ = 0. Если же все ξk взять рациональными, то получится σ = 1. Таким образом, за счет одного лишь уменьшения λ нельзя приблизить σ к какому-либо постоянному числу, и интеграл

не существует.

В настоящее время известны точные признаки, позволяющие судить, имеет или нет заданная функция определенный интеграл, но мы ограничимся вышеприведенной теоремой об интегрируемости непрерывных функций.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 2378; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Биологический смысл агрессии
  2. В отличие от гражданских прав и обязанностей в объективном смысле (т.е. когда речь идет об абстрактных предписаниях норм права, выраженных в различных нормативных правовых актах).
  3. В субъективном смысле под наследственным правом принято понимать право лица быть призванным к наследованию, а также его правомочия после принятия наследства.
  4. В узком смысле система гражданского законодательства
  5. В широком смысле система гражданского законодательства
  6. В-третьих. Исполнители стремятся убедиться в том, что все элементы определенного представления увязаны друг с другом.
  7. Вычисление двойного интеграла
  8. Вычисление определенного интеграла.
  9. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
  10. Геометрический и физический смысл производной
  11. Геометрический смысл дифференциала
  12. Геометрический смысл определенного интеграла




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.198.28.114
Генерация страницы за: 0.011 сек.