Необходимое условие интегрируемости

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.

Пример 1. Вычислить

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [х_i-1; х_i] разбиения имеют одинаковую длину Δх_i, равную 1/n, где n – число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [х_i-1; х_i] разбиения точка ξ_i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.

ξ_i = х_i = ,

где i=1, 2,..., n. (В силу интегрируемости функции у = х², выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек ξ₁, ξ₂,..., ξ_п на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Дата добавления: 2014-01-03