Пример разложения в комплексный ряд Фурье

ПАМЯТКА

Если сигнал f(t) является четной функцией, то мнимые составляющие всех комплексных коэффициентов Фурье равны 0, если же функция f(t) — нечетная, то в 0 обращаются действительные части всех коэффициентов.

(Подсказка). Действительная часть функции комплексной экспоненты е^jkt = coskt + jsinkt есть четная функция, а мнимая часть — нечетная.

Поскольку коэффициент С₀, выражающий постоянную составляющую, является действительным числом, правая часть равенства принимает действительные значения.

В качестве примера попробуем разложить в ряд Фурье прямоугольный сигнал с периодом T, изображенный на Рис. 5.14. Коэффициенты Фурье выражаются следующим образом:

Но поскольку функция f(t) при равна 1, а в остальных случаях она равна 0, то при

Исходя из формулы Эйлера

а значит,

При k = 0

Последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр

б)

в)

Функция f(t) – четная, поэтому коэффициенты Фурье состоят только из действительных частей

Функция выборочного значения

Действительные части коэффициентов Фурье

x

При Т = 8

k

0.25

а)

t

Т

2Т

-1

Рис. 5.14. Последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр

Понятно, что коэффициенты C_k являются действительными числами. Это также ясно и из того, что f(t) – четная функция. Величина фазы при положительном значении C_k равна 0. Если C_k принимает отрицательные значения, то величина фазы равна.

Функцию

можно представить графически, как показано на Рис. 5.14б. Эта функция называется функцией выборки (единичного отсчета). Если считать, что, то

т.е. коэффициенты C_k принимают вид, подобный функции выборки.

Попробуем изобразить графически коэффициенты Фурье. Пусть значение k отложено по оси абсцисс, а Re(C_k) – по оси ординат. На Рис.5.14в в качестве примера представлен спектр последовательности прямоугольных импульсов при T = 8.

[1] Вишневский В.М., Портной С.Л., Шахнович И.В. Энциклопедия WiMax. Путь к 4G. М.: Техносфера, 2009. – 472 с.

[2] Сато Юкио. Обработка сигналов. Первое знакомство / Под ред. Есифуми Амэмия, М.:Додека, 2002. – 175 с.

[3] Харкевич А.А. Теоретические основы радиосвязи. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1957. – 347 с.

[4] Харкевич А.А. Теоретические основы радиосвязи. М.: Гос. из-во технико-теоретической литературы, 1957. – 347 с.

[5] Сато Юкио. Обработка сигналов. Первое знакомство / Под ред. Есифуми Амэмия, М.:Додека, 2002. – 175 с.

Дата добавления: 2014-01-03