Линейное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами

Здесь будет рассматриваться линейное уравнение порядка n:

(2.17)

Коэффициенты a_i (t), i = 1,¼, n и свободный член b (t) которого предполагаются определенными и непрерывными на интервале I = { t: q₁ < t < q₂ }. Исследование уравнения (2.17) будет проводиться путем его сведения к нормальной системе уравнений методом, описанным в параграфе 4 гл. 1 первой части.

Фундаментальная система решений.

Для сведения уравнения (2.17) к нормальной линейной системе введем новые неизвестные функции

(2.18)

Эти новые неизвестные функции x₁,¼,x_n удовлетворяют линейной системе (см. § 4 гл. 1 часть 1)

(2.19)

Введем матрицу A (t):

(2.20)

Как в предыдущем параграфе систему (2.19) запишем в векторной форме

(2.21)

В том базисе пространства, в котором оператору A (t): ® соответствует матрица (2.20),, вектор определяется формулой

Уравнения (2.17) и (2.21) эквивалентны между собой в том смысле, что каждому решению x = y (t) уравнения (2.17) соответствует решение уравнения (2.21), и обратно, каждому решению уравнения (2.21), соответствует решение x = j₁ (t) уравнения (2.17), причем соответствие это взаимно однозначно. Если решения y (t) уравнения (2.17) и уравнения (2.21) соответствуют в указанном смысле друг другу, то мы будем писать

(2.22)

Из эквивалентности уравнений (2.17) и (2.21) следует, в частности, что любое решение уравнения (2.17) может быть продолжено на весь интервал I, так что в дальнейшем мы будем считать каждое рассматриваемое решение уравнения (2.17) определенным на этом интервале I и что каждое рассматриваемое значение t принадлежит ему.

В первую очередь изучим однородное уравнение

(2.23)

которому соответствует система уравнений вида

(2.24)

где оператор A (t): ® порожден матрицей (2.20).

Фазовое пространство уравнения (2.23) совпадает с фазовым пространством эквивалентной ему системы (2.24), т.е. представляет собой n -мерное линейное пространство, координатами точек которого является переменные.

Пространство X решений уравнения (2.23) - это линейное пространство функций j: I ® R. Соответствие (2.22) задает изоморфизм между пространством X решений уравнений (2.23) и пространством решений эквивалентной ему системы (2.24). Отсюда следует, что некоторая система решений

уравнения (2.23) линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависимыми являются соответствующие решения уравнения (2.24):

Из теоремы 2.1.2 вытекает:

Следствие 2.2.1 Пространство X решений уравнения (2.23) изоморфно фазовому пространству уравнения (2.23), причем изоморфизм можно задать, сопоставляя каждому решению y Î X набор значений производных в какой-нибудь точке t₀:

Базис линейного пространства решений X называется фундаментальной системой решений уравнения (2.23).

Из следствия 2.2.1 вытекает, что всякое уравнения (2.23) имеет фундаментальную систему из n решений y₁ (t),¼, y_n (t). При этом каждое решение уравнения (2.23) может быть записано в виде

где c₁,¼,c_n - константы.

Определителем Вронского системы функций y_k: I ® R, k = 1,¼, n называется числовая функция W: I ® R, значение которой в точке t равно

(2.25)

Другими словами, это - определитель Вронского системы вектор-функций, полученных из y_k способом, указанным в (2.22):

Все сказанное об определителе Вронского системы векторов-решений системы уравнений (2.24) переносится без изменений на определитель Вронского системы решений уравнения (2.23). В частности:

Следствие 2.2.2 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех t.

Следствие 2.2.3 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Следствие 2.2.4 Система n решений уравнения (2.23) фундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от 0 хоть в одной точке.

Если в формуле (2.10) учесть, что след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы (2.20), равен - a₁ (t), то для определителя (2.25)имеет место формула Лиувилля

(2.26)

Метод вариации постоянных

Пусть

(2.27)

- неоднородное уравнение и пусть

(2.28)

- соответствующее ему однородное уравнение. Как и в первом случае систем уравнений, произвольное решение уравнения (2.27)может быть записано в виде:

где y (t) - общее решение однородного уравнения (2.28), а x₀ (t) - частное решение неоднородного уравнения (2.27).

Пусть

(2.29)

какая-либо фундаментальная система решений уравнения (2.28). Тогда решение x₀ (t) уравнения (2.27) может быть получено в виде:

(2.30)

где функции

(2.31)

получаются как решения системы алгебраических уравнений:

(2.32)

Так как определитель системы уравнений (2.32) относительно неизвестных (2.31) есть определитель Вронского системы решений (2.29), то в силу следствия 2.2.4 и следствия 2.2.2 он не обращается в 0 ни при одном значении t. Поэтому из системы (2.32)можно найти величины (2.31), а по ним определить квадратурами и нужные нам функции