Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами


Здесь будет рассматриваться линейное уравнение порядка n:

  (2.17)

Коэффициенты ai(t), i = 1,¼,n и свободный член b(t) которого предполагаются определенными и непрерывными на интервале I = {t: q1 < t < q2}. Исследование уравнения (2.17) будет проводиться путем его сведения к нормальной системе уравнений методом, описанным в параграфе 4 гл. 1 первой части.

Фундаментальная система решений.

Для сведения уравнения (2.17) к нормальной линейной системе введем новые неизвестные функции

  (2.18)

Эти новые неизвестные функции x1,¼,xn удовлетворяют линейной системе (см. § 4 гл. 1 часть 1)

  (2.19)

Введем матрицу A(t):

  (2.20)

Как в предыдущем параграфе систему (2.19) запишем в векторной форме

  (2.21)

В том базисе пространства , в котором оператору A(t): ® соответствует матрица (2.20), , вектор определяется формулой

 

Уравнения (2.17) и (2.21) эквивалентны между собой в том смысле, что каждому решению x = y(t) уравнения (2.17) соответствует решение уравнения (2.21), и обратно, каждому решению уравнения (2.21), соответствует решение x = j1(t) уравнения (2.17), причем соответствие это взаимно однозначно. Если решения y(t) уравнения (2.17) и уравнения (2.21) соответствуют в указанном смысле друг другу, то мы будем писать

  (2.22)

Из эквивалентности уравнений (2.17) и (2.21) следует, в частности, что любое решение уравнения (2.17) может быть продолжено на весь интервал I, так что в дальнейшем мы будем считать каждое рассматриваемое решение уравнения (2.17) определенным на этом интервале I и что каждое рассматриваемое значение t принадлежит ему.

В первую очередь изучим однородное уравнение

  (2.23)

которому соответствует система уравнений вида

  (2.24)

где оператор A(t): ® порожден матрицей (2.20).

Фазовое пространство уравнения (2.23) совпадает с фазовым пространством эквивалентной ему системы (2.24), т.е. представляет собой n-мерное линейное пространство , координатами точек которого является переменные .



Пространство X решений уравнения (2.23) - это линейное пространство функций j: I ® R. Соответствие (2.22) задает изоморфизм между пространством X решений уравнений (2.23) и пространством решений эквивалентной ему системы (2.24). Отсюда следует, что некоторая система решений

 

уравнения (2.23) линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависимыми являются соответствующие решения уравнения (2.24):

Из теоремы 2.1.2 вытекает:

Следствие 2.2.1 Пространство X решений уравнения (2.23) изоморфно фазовому пространству уравнения (2.23), причем изоморфизм можно задать, сопоставляя каждому решению y Î X набор значений производных в какой-нибудь точке t0:

 

Базис линейного пространства решений X называется фундаментальной системой решений уравнения (2.23).

Из следствия 2.2.1 вытекает, что всякое уравнения (2.23) имеет фундаментальную систему из n решений y1(t),¼,yn(t). При этом каждое решение уравнения (2.23) может быть записано в виде

 

где c1,¼,cn - константы.

Определителем Вронского системы функций yk: I ® R, k = 1,¼,n называется числовая функция W: I ® R, значение которой в точке tравно

  (2.25)

Другими словами, это - определитель Вронского системы вектор-функций , полученных из yk способом, указанным в (2.22):

 

Все сказанное об определителе Вронского системы векторов-решений системы уравнений (2.24) переносится без изменений на определитель Вронского системы решений уравнения (2.23). В частности:

Следствие 2.2.2 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то он тождественно равен нулю при всех t.

Следствие 2.2.3 Если определитель Вронского системы решений уравнения (2.23) обращается в 0 хоть в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Следствие 2.2.4 Система n решений уравнения (2.23) фундаментальна, если и только если определитель Вронского отличен от 0 хоть в одной точке.

Если в формуле (2.10) учесть, что след, т.е. сумма диагональных элементов матрицы (2.20), равен - a1(t), то для определителя (2.25)имеет место формула Лиувилля

  (2.26)

Метод вариации постоянных

Пусть

  (2.27)

- неоднородное уравнение и пусть

  (2.28)

- соответствующее ему однородное уравнение. Как и в первом случае систем уравнений, произвольное решение уравнения (2.27)может быть записано в виде:

 

где y(t) - общее решение однородного уравнения (2.28), а x0(t) - частное решение неоднородного уравнения (2.27).

Пусть

 
(2.29)

какая-либо фундаментальная система решений уравнения (2.28). Тогда решение x0(t) уравнения (2.27) может быть получено в виде:

 
(2.30)

где функции

  (2.31)

получаются как решения системы алгебраических уравнений:

  (2.32)

Так как определитель системы уравнений (2.32) относительно неизвестных (2.31) есть определитель Вронского системы решений (2.29), то в силу следствия 2.2.4 и следствия 2.2.2 он не обращается в 0 ни при одном значении t. Поэтому из системы (2.32)можно найти величины (2.31), а по ним определить квадратурами и нужные нам функции

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Нормальная система линейных уравнений переменными коэффициентами | ЛЕКЦИЯ 2 теоретические основы реабилитации

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 265; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.