Нормальная система линейных уравнений переменными коэффициентами

Здесь будет рассматриваться нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами

(2.1)

Напомним, что если коэффициенты a_ij (t), i,j = 1,¼, n и свободные члены b_i (t), i = 1,¼, n определены и непрерывны на интервале I = { t: q₁ < t < q₂ }, то в силу теоремы 3.2 каждое решение может быть продолжено на весь интервал I = { t: q₁ < t < q₂ }. Далее, мы будем считать, что каждое рассматриваемое решение задано на этом интервале и каждое рассматриваемое значение независимого переменного t принадлежит ему.

Фундаментальная система решений

Рассмотрим сперва однородную линейную систему

(2.2)

Обозначим через A (t) матрицу, элементами которой являются коэффициенты a_ij (t), i,j = 1,¼, n; A (t) = (a_ij (t)) (индекс i соответствует номеру строки, а j - номеру столбца). Обозначим через - линейный оператор, матрица которого в некотором базисе пространства совпадает с A (t). Трактуя искомые искомые величины x₁,¼,x_n как координаты в базисе e вектора, т.е., систему (2.2) представим в векторной форме

(2.3)

Пространство, координатами точек которого выступают переменные x₁,¼,x_n, есть фазовое пространство системы (2.3). Пространство R× размерности n + 1, координатами точек которого являются переменные t,x₁,¼,x_n называют расширенным фазовым пространством. Геометрически решения уравнения (2.3) изображают интегральными кривыми в полосе I× расширенного фазового пространства.

Рассмотрим множество X всех решений уравнения (2.3), определенных на всем интервале I. Поскольку решения - это вектор-функции со значениями в линейном фазовом пространстве, то их можно складывать и умножать на числа:

Теорема 2.1.1 Множество X всех решений уравнения (2.3), определенных на интервале I, является линейным пространством.

Доказательство. Это очевидно:

Теорема 2.1.2 Линейное пространство X решений линейного уравнения (2.3) изоморфно фазовому пространству этого уравнения.

Доказательство. Зафиксируем произвольно t₀ Î I и рассмотрим отображение

сопоставляющее каждому решению его значение в момент t₀.

Отображение линейно, так как

Его образ - все фазовое пространство, так как по теореме существования для любого существует решение с начальным условием. Ядро отображения равно 0, так как решение с нулевым начальным условием равно нулю тождественно по теореме единственности.

Итак, - изоморфизм X на. Это - основной результат теории линейных уравнений.

Пусть

(2.4)

- некоторая система решений уравнений (2.3). Она называется линейно зависимой, если существуют такие константы c₁,¼,c_r, не все равные нулю, что

В противном случае система (2.4) решений уравнения (2.3) называется линейно независимой.

Предложение 2.1.1 Если хотя бы для одного значения t = t₀ векторы

(2.5)

линейно зависимы, то решения (2.4) линейно зависимы. Иначе говоря, если система решений (2.4) линейно независима, то ни при каком значении t векторы (2.5) не могут быть линейно зависимыми.

Доказательство. Допустим, что векторы (2.5) линейно зависимы, то есть что

где не все числа c₁,¼,c_r равны нулю. Рассмотрим вектор-функцию

В силу теоремы 2.1.1 является решением уравнения (2.3). В силу теоремы единственности эта функция равна нулю тождественно, так как в точке t = t₀ она обращается в нуль.

Фундаментальной системой решений уравнения (2.3) называется базис линейного пространства решений X, т.е. максимальное число линейно независимых решений уравнения (2.3). Из теоремы 2.1.2 вытекает:

Следствие 2.1.1 Всякое уравнение (2.3) имеет фундаментальную систему решений из n решений.

Следствие 2.1.2 Всякое решение уравнения (2.3) является линейной комбинацией решений фундаментальной системы.

Для линейной системы с постоянными коэффициентами фундаментальная система решений была построена в п. 5.3.

Определитель Вронского

Пусть - некоторый базис в фазовом пространстве. Рассмотрим n вектор-функций,

Составим теперь матрицу

(2.6)

k -м столбцом которой служит k -ая вектор-функция или, точнее, ее координаты. Определитель этой матрицы обозначим через W (t); он называется определителем Вронского системы вектор-функций.

В частности, пусть - решения уравнения (2.3). Очевидно, что если эти решения линейно независимы, то их определитель Вронского W (t) не обращается в нуль ни при одном значении t; в этом случае система решений

(2.7)

является фундаментальной системой решений. Далее, если система (2.7) линейно зависима, то определитель Вронского тождественно равен нулю. В случае, когда система (2.7) является фундаментальной, матрицу (2.6) называют фундаментальной.

Из сказанного вытекает:

Следствие 2.1.3 Система решений уравнения (2.3) является фундаментальной тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского отличен от 0 хотя бы в одной точке t Î I.

Следствие 2.1.4 Если определитель Вронского системы решений (2.7) равен 0 в одной точке, то от равен 0 тождественно при всех t.

Теорема 2.1.3 Пусть система n непрерывно дифференцируемых вектор-функций такова, что ее определитель Вронского W(t) нигде не обращается в нуль на интервале I. Тогда матрица (2.6) является фундаментальной для некоторой (притом единственной) системы (2.2), определенной на интервале I.

Доказательство. Условие того, что вектор-функция, координаты которой составляют k -ый столбец матрицы (2.6), является решением системы вида (2.2) означает, что

(2.8)

Если в этом соотношении фиксировать индекс i, а считать меняющимся только индекс k, то систему полученных соотношений можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Эта система однозначно разрешима, так как матрица ее получается из матрицы (2.6) транспонированием и поэтому определитель ее отличен от нуля. Таким образом, функции a_ij (t) при каждом фиксированном i однозначно находятся из соотношений (2.8) и притом оказываются непрерывными функциями, так как функции и непрерывны.

Формула Лиувилля

Для доказательства формулы Лиувилля нам понадобится правило дифференцирования определителя. Дадим его здесь.

Пусть W (t) - определитель матрицы (2.6), элементы которой j_i,j (t), i,j = 1,¼, n являются дифференцируемыми функциями переменного t. Тогда

(2.9)

где W_i (t) - определитель матрицы, которая получается из матрицы (2.6) дифференцированием по t всех членов i -ой строки, а остальные строки остаются без изменения. Очевидно, что роли строк и столбцов можно поменять.

Теорема 2.1.4 Пусть W(t) - определитель Вронского фундаментальной системы решений системы уравнений (2.2). Тогда имеет место формула

(2.10)

где S(t) - след матрицы A(t), т.е.

Доказательство. Вычислим производную, пользуясь формулой (2.9). Строки матрицы (2.6) удобно считать векторами, именно положим

Соотношения (2.8) можно теперь записать в виде

(2.11)

Это соотношение показывает, что производная i -ой строки матрицы (2.6) является линейной комбинацией строк той же матрицы. Таким образом, при вычислении определителя W_i (t) мы должны i -ую строку определителя W (t) заменить линейной комбинацией (2.11)строк того же определителя. Так как от прибавления кратных других строк к данной строке определитель не меняется, то ясно, что

Таким образом, в силу формулы (2.9), определитель Вронского является решением дифференциального уравнения

Единственным решением этого уравнения с начальным условием

является (2.10). Теорема доказана.

Между прочим, из формулы (2.10) снова видно, что определитель Вронского системы решений либо равен 0 тождественно, либо не обращается в 0 ни в одной точке.

Метод вариации постоянных

Перейдем теперь к изучению неоднородных систем. Пусть

(2.12)

- векторная запись неоднородной системы (2.1) и пусть - некотoрое (как говорят, частное) решение этого уравнения. Наряду с уравнением (2.12) рассмотрим соответствующее однородное уравнение (2.3). Из линейности системы (2.1) следует, что произвольное ее решение может быть записано в виде

где есть произвольное решение уравнения (2.3).

Таким образом, решение неоднородного уравнения (2.12) сводится к решению однородного и к отысканию частного решения неоднородного уравнения. Оказывается, зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (2.3), можно методом вариации постоянных найти частное решение неоднородного уравнения.

Итак, пусть

(2.13)

- фундаментальная система решений однородного уравнения (2.3). Будем искать решение уравнения (2.12) в виде

(2.14)

где коэффициенты c_i являются неизвестными функциями от t. Подставляя выражение (2.14) в уравнение (2.12) и принимая во внимание, что функции (2.13) - решения уравнения (2.3), получаем:

(2.15)

Обозначим через - фундаментальную матрицу уравнения (2.3) (см. формулу (2.6)) и перепишем систему (2.15) в виде

где координатами вектор-функции c (t) являются c₁ (t),¼, c_n (t). Отсюда находим

или

(2.16)

Поскольку формула (2.14) может быть переписана в виде

то подставляя сюда выражение (2.16), получим