Сведения из линейной алгебры и анализа

Нормальная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами

В этой главе предметом изучения будет система уравнений

с постоянными коэффициентами. Здесь x₁,¼,x_n - неизвестные функции действительного переменного t; a_ij, i,j = 1,¼,n - заданные действительные (или комплексные) постоянные.

Для таких систем дифференциальных уравнений имеется достаточно полная теория. Эта теория, являющаяся, по существу, ветвью линейной алгебры, позволяет полностью решить все линейные автономные уравнения. Теория линейных уравнений полезна в качестве первого приближения и при исследовании нелинейных задач. Например, она позволяет исследовать устойчивость положений равновесия для некоторых классов нелинейных систем.

Матрица линейного оператора Пусть X_n - конечномерное линейное пространство размерности n над полем K. Линейным преобразованием A пространства X_n называется отoбражение

A: X_n ® X_n,

обладающее свойствами:

(1.1)

Такие линейные преобразования мы будем назвать линейными операторами в X_n.

Всякий линейный оператор A в X_n может быть задан своей матрицей в некотором базисе. Делается это следующим образом: выберем в пространстве X_n какой-либо базис. Раскладывая вектора A (), A (),¼, A () по данному базису мы получаем соотношения

(1.2)

в силу которых возникает матрица = A (i обозначает номер строки, j - номер столбца), которая называется матрицей линейного оператора A в базисе. О матрице A = в этом случае говорят, что она есть матричное представление линейного оператора A в базисе.

Обратно, с помощью любой матрицы размерности n×n можно задать линейный оператор в X_n, матричное представление которого в некотором базисе совпадает с исходной матрицей. Действительно, выбрав в X_n некоторый базис, мы положим

(1.3)

Построим теперь линейное преобразование A пространства X_n, переводящее векторы соответственно в. Чтобы построить искомое преобразование, возьмем произвольный вектор Î X_n и разложим его по базису:

(1.4)

Затем вектору сопоставим вектор

(1.5)

Преобразование, переводящее в назовем A. Ясно, что A () =. Линейность оператора A легко проверяется.

Ясно, что матрица оператора A в базисе e = () есть матрица.

Формула разложения (1.4) позволяет установить взаимно - однозначное соответствие между векторами Î X_n вещественного (комплексного) пространства и точками координатного пространства размерности n, элементами которого являются упорядоченные наборы вещественных (комплексных) чисел (x₁,¼,x_n). Именно,

Легко видеть, что это отображение является изоморфным. Иными словами, любое конечномерное пространство можно отождествить с изоморфным ему координатным пространством соответствующей размерности.

Пусть выбранная система координат есть и вектор имеет в ней координаты x₁,¼,x_n. Обозначим элементы матрицы A преобразования A, вычисленные в той же системе координат, через a_ij (i, j = 1,¼,n). Мы имеем

Согласно определению матрицы оператора A

Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим

Следовательно, координаты нового вектора есть

Таким образом, координатный столбец нового вектора равен произведению матрицы линейного преобразования на координатный столбец старого вектора

(1.6)

Преобразование координат

В предыдущем разделе установлено взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами, действующими в n -мерном линейном пространстве и квадратными матрицами порядка n. Однако для этого потребовалось сначала выбрать в X_n определенную координатную систему. Изменив ее, мы изменим соответствие. В результате одному и тому же линейному оператору A в старой и новой координатных системах будут отвечать различные матрицы. Приведем связывающую их формулу.

Пусть в X_n имеются две координатные системы: и. Каждый вектор разложим по первому базису, т.е.

(1.7)

Матрица

называется матрицей перехода от координатной системы к системе. Возьмем произвольный вектор и обозначим через его координатные столбцы в первой и второй координатных системах. Следовательно, мы имеем

Подставляя во второе из этих равенств выражения для векторов согласно формулам (1.7), получим

Таким образом, приходим к формулам

(1.8)

Эти равенства и являются искомыми формулами преобразования координат. Матричная запись формул (1.8):

(1.9)

Пусть A - матричное представление линейного оператора A в базисе, а - матричное представление этого же оператора в базисе. Согласно формуле (1.6)

(1.10)

а по правилу преобразования координат (1.9) имеем

(1.11)

Из соотношений (1.10), (1.11) следует, что

Так как вектор произволен, то отсюда следует формула

(1.12)

Заметим, что с точки зрения теории линейных преобразований матрица перехода есть матрица линейного преобразования, переводящая старую координатную систему в новую, вычисленная в старой системе координат.

Пусть A: X_n ® X_n - линейный оператор и A - матрица, соответствующая оператору A в некоторой системе координат. Отличный от нуля вектор называется собственным вектором оператора A, а число l - собственным значением этого оператора, соответствующим вектору, если выполнено соотношение:

(1.13)

Оказывается, что число l тогда и только тогда является собственным значением оператора A, когда оно есть корень многочлена

(1.14)

Многочлен D (l) называют характеристическим многочленом матрицы A. Известно, что коэффициенты многочлена D (l) не зависят от выбора системы координат в X_n, а полностью определяются самим оператором A. Поэтому многочлен D (l) называется тоже характеристическим многочленом оператора A, а уравнение (1.14) характеристическим уравнением этого оператора. Координатный столбец собственного вектора x, очевидно, представляет собой нетривиальное решение однородной алгебраической системы

Овеществление

Через мы будем обозначать n-мерное линейное пространство над полем комплексных чисел C. Овеществлением пространства называется вещественное линейное пространство, которое совпадает с как группа (т.е. состоит из тех же элементов и групповая операция "+" - та же самая), в котором умножение на вещественные числа определено как в, а умножение на комплексные числа не определено.

Пусть - базис в. Каждый вектор может быть представлен в виде

где - комплексные числа. Эти же соотношения можно переписать в виде

Таким образом, легко видеть, что овеществление пространства, будет 2n -мерным вещественным линейным пространством с базисом. Овеществление обозначают знаком R сверху слева, т.е..

С точки зрения оперирования с координатами овеществление означает следующее:

Фиксируя в некоторую координатную систему, мы каждому вектору x Î можем сопоставить n -мерный координатный столбец [ x ] комплексных чисел (состоящий из комплексных координат данного вектора). После овеществления, этому же элементу сопоставляется 2n -мерный координатный столбец действительных чисел; первыми n элементами его являются действительные части комплексных координат, а затем в том же порядке перечисляются мнимые части.

Как и в вещественном линейном пространстве любой линейный оператор A: ® допускает матричное представление. Пусть в фиксирована какая-либо система координат, скажем,; Если

(1.15)

то по определению

(1.16)

Пусть

Таким образом,

(1.17)

Переписав формулы (1.15) в виде

(1.18)

и заметив, что

(1.19)

можно сделать следующий вывод:

Линейный оператор A: ® порождает линейный оператор, действующий в овеществленном пространстве, причем для любого,

Оператор называют овеществлением оператора A. Из формул (1.18), (1.19) следует, что матрица овеществленного оператора в базисе есть

Комплексификация

Рассмотрим теперь так называемую операцию комплексификации. Пусть - вещественное линейное пространство. Комплексификация пространства - это n -мерное комплексное линейное пространство, обозначаемое через, которое строится следующим образом.

Элементы пространства - это пары. Такая точка обозначается через. Операция сложения двух элементов и определяются как

Операция умножения элемента на комплексное число производится по правилу

Легко проверить, что - комплексное линейное пространство. Пусть () - базис в и, следовательно, любой вектор может быть записан в виде

Пусть

Тогда элемент записывается в виде:

Другими словами, векторы образуют базис в. Размерность комплексифицированного пространства равна n. Векторы обозначаются короче через (но теперь их можно умножать и на комплексные числа).

Пусть A: ® - линейный оператор. Комплексификацией оператора A называют линейный оператор, определяемый соотношением

(1.20)

Матричная экспонента

Скалярную функцию, как известно, можно определить любым из следующих (эквивалентных) способов:

(1.21)

(1.22)

где E обозначает единицу.

Отождествляя вещественное n-мерное линейное пространство X_n (произвольной природы) с изоморфным ему координатным пространством, мы часто само пространство X_n будем обозначать через. Итак, пусть A: ® - линейный оператор. Чтобы определить экспоненту e^A, потребуется понятие предела последовательности линейных операторов.

Говорят, что в вещественном линейном пространстве E задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число (называемое скалярным произведением этих векторов), что выполнены условия:

1. причем

2.,

3.,

4..

Зафиксируем в скалярное произведение, например,

(1.23)

и положим

(1.24)

Формула (1.24) задает так называемую норму вектора и обладает свойствами:

(1.25)

каковы бы ни были векторы и вещественное число a.

Норма, связанная со скалярным произведением по формуле (1.24), называется нормой, порожденной данным скалярным произведением. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны и поэтому можно пользоваться скалярным произведением (1.23) и порождаемой им евклидовой нормой

(1.26)

Пусть A: ® - линейный оператор.

Нормой оператора A называется число

(1.27)

Заметим, что норма || A || оператора A в конечномерном пространстве конечна. Действительно, достаточно проверить этот факт в том случае, когда норма в задается формулой (1.26). Тогда

(1.28)

Отсюда видим, что функция непрерывна в и, следовательно, ограничена (и даже достигает своей верхней и нижней граней) на единичной сфере

поскольку S - компактное множество.

Вернемся к формуле (1.28). Из неравенства

следует, что

(1.29)

Из неравенства (1.29) получаем, что

(1.30)

С другой стороны, обозначим через j₀ такой номер, что

(1.31)

и положим

Согласно формуле (1.28)

(1.32)

Кроме того, (так как)

(1.33)

Таким образом, из (1.30), (1.32), (1.33) вытекает двухсторонняя оценка нормы оператора A в терминах его матрицы:

(1.34)

Множество всех линейных операторов A: ® само является линейным пространством над полем вещественных чисел, если операции сложения его элементов (в данном случае операторов) и умножения на скаляры определить по правилам

Метрическим пространством называют множество X произвольной природы, каждой паре элементов x, y которого поставлено в соответствие число r (x, y) (называемое расстоянием между точками x и y), обладающее свойствами:

Данные соотношения называют аксиомами метрики, а свойство 3) - неравенством треугольника.

Последовательность точек x_n, n = 1,2,¼ метрического пространства X называется фундаментальной последовательностью (или последовательностью Коши,) если для любого e > 0 существует номер N (e) такой, что r (x_n,x_m) < e, для любых n, m ³ N.

Последовательность x_n Î X, n = 1,2,¼ называется сходящейся к точке x Î X, если для любого e > 0, существует номер N (e) такой, что r (x_n, x) < e, для любого n ³ N.

Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к некоторой точке этого пространства.

На множестве линейных операторов зададим метрику по формуле

(1.35)

Свойства 1) и 2) метрики очевидным образом следуют из определения (1.27) нормы оператора. Доказательство неравенства треугольника равносильно проверке неравенства

(1.36)

для произвольных операторов A, B Î. Докажем это неравенство. Пусть

Мы имеем:

Таким образом, для каждого справедливо неравенство

Отсюда, в силу (1.27), следует неравенство (1.36).

Теорема 1.1.1 Пространство линейных операторов с метрикой (1.35) является полным метрическим пространством.

Доказательство теоремы. Пусть A_k, k = 1,2,¼ - фундаментальная последовательность точек пространства, так что для каждого e > 0 найдется номер N (e) > 0 такой, что

Пусть и. Из определения нормы оператора, получаем:

(1.37)

Таким образом, - фундаментальная последовательность в пространстве с евклидовой метрикой

Пространство полное. Поэтому существует предел

(1.38)

Переходя в (1.37) к пределу при m ® ¥, получаем, что

(1.39)

причем N (e) - то же, что и (1.37) число, не зависящее от. Точка в (1.38) зависит от линейно и поэтому определяет линейный оператор A

В силу (1.39) мы имеем, что

Таким образом,

Иначе говоря, A_k ® A, т.е. пространство полное.

Пусть дано метрическое пространство X с метрикой r и пусть при этом множество X является линейным пространством, а метрика r удовлетворяет условиям:

(1.40)

Точки пространства X называют векторами. Функция r (, 0) называется нормой вектора и обозначается через || ||. Нетрудно убедиться, что так определенная норма удовлетворяет свойствам (1.25) и при этом справедливо равенство

r (x, y) = || x - y ||.

(1.41)

Такое пространство X называется нормированным, а функция ® || || называется нормой в X. Описанное выше пространство операторов является, таким образом, полным нормированным пространством; норма в нем задается формулой (1.27).

Пусть X - полное нормированное пространство. Поскольку элементы X можно складывать и умножать на числа, то имеет смысл рассматривать ряды вида

(1.42)

Теория таких рядов буквально повторяет теорию числовых рядов.

Теория функциональных рядов также может быть обобщена на функции со значениями в линейном пространстве X. Говоря точнее, пусть f_i, i = 1,2¼ - функции, заданные на некотором множестве (вообще говоря, произвольной природы) T и принимающие значения в полном нормированном пространстве X:

f_i: T ® X.

Функциональный ряд называется сходящимся в точке t Î T, если сходится последовательность частичных сумм этого ряда. Предел f (t) частичных сумм S_k (t), k = 1,2,¼ называют суммой ряда и пишут

Другими словами, функциональный ряд сходится в точке t Î T к функции f (t), если для произвольного e > 0 найдется число N = N (e, t) (зависящее от e и, вообще говоря, от t) такое, что

(1.43)

В силу полноты пространства X имеет место критерий Коши сходимости ряда - для каждого e > 0 cуществует номер N (e, t) такой, что:

(1.44)

Ряд называют равномерно сходящимся на множестве T, если номер N в (1.43) (или в (1.44), что одно и то же) может быть выбран не зависящим от точек t Î T.

Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд.

Признак Вейерштрасса. Если ряд из функций f_i: T ® X мажорируется сходящимся числовым рядом:

то он сходится абсолютно и равномерно на T.

Пусть f: T ® X - функция, определенная на некотором открытом множестве T вещественной прямой R со значениями в полном нормированном пространстве X. Функция f называется дифференцируемой в точке t = t₀ Î T, если в X существует предел

то есть

Элемент называется производной функции f в точке t = t₀ и обозначается через. Функция f дифференцируема на открытом множестве T, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Дифференцирование ряда. Если ряд функций f_i: R ® X сходится и ряд из производных сходится равномерно на R, то он сходится к производной.

Для случая X = R доказательство обоих теорем имеются в курсе анализа. На описанный выше случай эти доказательства переносится дословно.

Определение экспоненты e^A

Пусть A: ® - линейный оператор. Экспонентой e^A оператора A называется линейный оператор из в, определяемый формулой

(1.45)

где E - тождественный оператор в.

Теорема 1.1.2 Ряд e^A сходится в пространстве при любом A равномерно на каждом множестве

Доказательство. Пусть оператор A Î такой, что || A || £ a. Замечая, что, получим, что числовой ряд

(1.46)

мажорирует ряд (1.45). Поскольку ряд (1.46) сходится, то по признаку Вейерштрасса ряд (1.45) равномерно сходится при A Î S_a.

Упражнение. Вычислить матрицу e^At, если матрица A имеет вид:

Свойства экспоненты

Пусть T: ® - линейный оператор. Семейство линейных операторов, действующих в некотором пространстве X называют однопараметрической полугруппой операторов, если

Если t может изменяться на всей числовой прямой -¥ < t < +¥, то есть однопараметрическая группа операторов.

Теорема 1.1.3 Семейство линейных операторов e^tA: ®, t Î R, является однопараметрической группой линейных операторов в.

Доказательство теоремы. Мы уже знаем, что e^tA - линейный оператор, действующий в. Проверим, что имеют место свойства:

(1.47)

(1.48)

Обозначим через S_m (A) частичную сумму для ряда e^A:

Заметим, что S_m -многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно A. Мы должны доказать, что разность

стремится к нулю при m ® ¥ по норме пространства. Заметим, что D_m - это многочлен с неотрицательными коэффициентами относительно sA и tA. Действительно, преобразуем выражение

Так как

то предыдущее выражение принимает вид

(1.49)

Отсюда видно, что коэффициенты этого многочлена неотрицательны и, следовательно,

(1.50)

Положим

(1.51)

Предыдущие выкладки показывают, что выражение в правой части неравенства (1.50) равно разности

которая при любых значениях t и s стремится к нулю в силу формулы:. Итак,

Формула (1.47) доказана.

Для доказательства формулы (1.48) продифференцируем ряд

формально по t. Получим ряд из производных

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно в любой области || A || £ a, | t | £ T и поэтому производная суммы ряда существует и равна сумме ряда из производных, т.е. Ae^tA. Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-03