При практическом решении дифференциальных уравнений оператор A задан своей матрицей в некоторoм базиcе и требует явно вычислить матрицу оператора eAt в том же базисе. Мы начнем с простейшего случая.
Случай вещественных и различных собственных чисел
Пусть нам дана система уравнений вида (1.52). Предположим, что n корней l1,¼,ln характеристического уравнения
вещественны и различны. Пусть A: ® - линейный оператор, сooтветствующий данной матрице A в некоторой координатной системе. Числа l1,¼,ln являются собственными значениями оператора A. Пусть - cоответствующие собственные вектора, т.е.. Эта система векторов является базисом в и матрица оператора A в нем имеет вид
Матрица оператора eAt в собственном базисе также имеет диагональный вид
В силу формулы (1.57) решение системы дифференциальных уравнений (1.52) (или (1.55) в инвариантной форме), удовлетворяющее начальному условию
в собственном базисе x оператора A имеет вид
Другими словами,
В исходном базисе e представление решения мы получим следующим образом.
Разложив начальный вектор по собственному базису x
и заметив, что
мы получаем
Отсюда следует
Таким образом, решение системы (1.52) в исходном базисе e имеем вид
При этом координатный столбец собственного вектора является собственным вектором матрицы системы (1.52).
Таким образом, решать систему уравнений (1.52) в случае, когда собственные значения матрицы вещественны и различны, нужно следующим образом:
1) составить характеристическое уравнение
2) найти его корни l1,¼,ln; мы предполагаем, что они вещественны и различны;
3) найти собственные векторы матрицы A из линейных алгебраических уравнений
4) разложить начальный вектор по собственным векторам матрицы A:
5) написать ответ:
Случай различных корней характеристического уравнения
Пусть матрица A = (aij) системы (1.52) такова, что корни l1,¼,ln (вообще говоря, комплексные) характеристического уравнения
попарно различны. В этом случае целесообразно сначала найти все комплексные решения рассматриваемой системы, а затем выделить все действительные решения. Итак, для большей общности, рассмотрим систему дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами:
где aij (i, j = 1,¼, n) - комплексные числа. Искомыми функциями являются, естественно, также комплексные функции z1,¼,zn независимого действительного переменного t Î (-¥, +¥).
Комплексный случай, как это часто бывает, проще вещественного. Он важен сам по себе и, кроме того, изучение комплексного случая поможет нам исследовать вещественный.
Фиксируя в n -мерном комплексном пространстве некоторый базис, матрице системы (1.64) мы сопоставим линейный оператор A: ® и перепишем систему (1.64) в виде
Пространство называется фазовым пространством системы (1.65). Pешением j уравнения (1.65) с начальным условием, называется отображение j: I ® интервала I вещественной оси t в такое, что:
1) для всякого
2) t0 Î I и.
Теорема 1.3.1 Решение j системы уравнений (1.65) с начальным условием дается формулой.
Доказывается эта теорема точно так же, как в вещественном случае. Наша цель теперь - исследовать и явно вычислить оператор eAt. Итак, пусть корни l1,¼,ln характеристического уравнения (1.63) различны. Тогда l1,¼,ln являются собственными значениями оператора A системы (1.65).
Пусть - собственные векторы, соответствующие данным собственным значениям:
Векторы x = () образуют базис в пространстве и поэтому оно разлагается в прямую сумму инвариантных относительно A и eAt одномерных пространств, причем в каждом одномерном инвариантном подпространстве, скажем, действие операторов A и eAt сводится к умножению на lk и соответственно.
Обращаясь к формуле j (t) = eAtz0, разложим начальный вектор z0 по векторам собственного базиса
Тогда данная формула примет вид
Поскольку в исходном базисе e координатный столбец является собственным вектором матрицы A = (aij), то в исходном базисе решение имеет вид
В качестве следствия отметим, что в случае различных корней характеристического уравнения (1.63) элементы матрицы экспоненты eAt в любом базисе представляют собой линейные комбинации экспонент.
В случае вещественных коэффициентов уравнений (1.64) собственный базис состоит из действительных векторов (соответствующих действительным собственным значениям) и попарно сопряженных комплексных векторов (соответствующих комплексно сопряженным собственным значениям). Поэтому чтобы выделить из комплексных решений (1.66) действительные, нужно взять действительные константы перед действительными решениями и комплексно-сопряженные - перед попарно сопряженными решениями.
Случай кратных собственных чисел
Чтобы найти явный вид матрицы eAt в случае кратных собственных чисел, мы воспользуемся жордановой нормальной формой матрицы.
Пусть - произвольная действительная матрица и A: ® - линейный оператор, соответствующий данной матрице в некоторой системе координат пространства. Как известно, в можно выбрать такой базис x, в котором оператору A соответствует матрица [ A ] x, имеющая жорданову нормальную форму, то есть матрица [ A ] x имеет блочно-диагональную структуру
| æ ç ç ç ç ç è
| |
| ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
| .
|
| (1.67)
|
Вдоль главной диагонали располагаются жордановы клетки, имеющие вид
где l - собственное значение матрицы A. Так как степень ([ A ] x) k такой матрицы, очевидно, имеет вид
| æ ç ç ç ç ç è
| |
| ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
| ,
|
|
будет матрица
| æ ç ç ç ç ç è
| |
| ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø
| ,
|
|
Таким образом, дело сводится к вычислению матрицы eAt, где A - жорданова клетка:
Один из способов вычисления eAt, где A - жорданова клетка (1.68) порядка n, состоит в том, что матрице (1.68) мы сопоставим конкретный линейный оператор A в конкретном линейном пространстве Xn, для которого легко вычислить оператор eAs = Hs: Xn ® Xn. Переходя тогда к матричному представлению оператора Hs, получим искомую матрицу eAs. С этой целью сформулируем ряд понятий и утверждений:
Пусть l - фиксированное число. Квазимногочленом с показателем l будем называть функцию вида p (t) elt, где p (t) - многочлен. Зафиксируем значения показателя l.
Нетрудно видеть, что совокупность Qn всех квазимногочленов степени меньше n имеет естественную структуру линейного пространства. Выберем в качестве базиса e в Qn cледующие функции:
Если q (t) Î Qn, то есть
то координатный столбец [ q ] e в базисе (1.69) есть
Теорема 1.3.2 а). Операция дифференцирования является линейным оператором из Qn в Qn. Матрица этого оператора в базисе (1.69) есть клетка жордана (1.68) порядка n, т.е.
в). При любом s Î R справедливо равенство
где Hs: Qn ® Qn - оператор сдвига, то есть
c). Матрица esA имеет вид
Доказательство. Операции дифференцирования и сдвига, примененные к квазимногочлену с показателем l, снова дают нам квазимногочлен с тем же показателем. Формула (1.70) получается в силу соотношений:
Далее, пусть q (t) = p(t) elt. По формуле Тейлора
и ряд в правой части данного соотношения абсолютно сходится на всей прямой (так как абсолютно сходятся ряды Тейлора для функций elt и p (t)). С другой стороны, ряд в правой части формулы (1.73) по определению есть результат применения к квазимногочлену q (t) оператора. Формула (1.71) доказана. Докажем формулу (1.72). Мы имеем
где
Таким образом, матрица [ Hs ] e выражается формулой (1.72). С другой стороны
Теорема доказана.
Замечание. Если l Î C, то матрице A в (1.68) соответствует линейный оператор A, действующий в комплексном линейном пространстве размерности n. Формула (1.72) для матрицы экспоненты esA сохраняется.
Следствие 1.3.1 Пусть A - квадратная матрица порядка n с комплексными элементами. l1,¼,ls - собственные числа этой матрицы, k1,¼,ks - их соответствующие кратности. Тогда каждый элемент матрицы eA является суммой квазимногочленов от t с показателями ll степеней меньше kl соответственно (l = 1,¼,s).
Доказательство. Матрице A соответствует линейный оператор A: ®. В базисе x, в котором матрица [ A ] x имеет жорданову форму, утверждение следствия 1.3.1 следует из утверждения с) теоремы 1.3.2. Элементы матрицы в любом другом базисе являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами элементов матрицы.
Следствие 1.3.2 Пусть j - решение системы дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами
Тогда каждая компонента вектора j (в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от t с показателямиli степеней меньше ni соответственно:
где pjl(t) - многочлен степени меньше kl.
Доказательство. Решение уравнения (1.74) есть и тогда формулы (1.75) получаются в силу следствия 1.3.1.
В том случае, когда матрица A = (aij) вещественна, встает задача выделения из совокупности всех решений, задаваемых формулами (1.75), действительных решений.
Пусть A: ® - линейный оператор соответствующий данной вещественной матрице A (в некоторoм базисе) и задающий линейное уравнение
Комплексификация уравнения (1.76) - это уравнение с комплексным фазовым пространством
Лемма 1.3.1 Решения уравнения (1.77) с комплексно-сопряженными начальными условиями комплексно сопряжены.
Доказательство. Пусть j - решение с начальным условием
Тогда
Покажем, что - решение. В силу единственности лемма будет доказана. При любом значении t мы имеем
что и требовалось доказать.
Лемма 1.3.2 Решение уравнения (1.77) с вещественным начальным условием вещественно и удовлетворяет уравнению (1.76).Решение с вещественным начальным условием не может иметькомплексных значений.
Действительно, по лемме 1.3.1, если j - решение, то таковой является и функция. Но если бы ¹ j, то нарушалась бы теорема единственности.
Лемма 1.3.3 Функция тогда и только тогда является решением комплексифицированного уравнения (1.77), когда ее вещественная и мнимая части удовлетворяют исходному уравнению (1.76).
Доказательство. Пусть. Тогда
и поэтому овеществление уравнения (1.77) распадается в прямое произведение:
Из лемм 1.3.1 и 1.3.3 видно, как, зная комплексные решения уравнения (1.77), можно находить вещественные решения уравнения (1.76) и обратно.
Лемма 1.3.4 Пусть A: ® - вещественный линейный оператор. Пусть l - один из корней характеристического уравнения, вообще говоря, комплексный. Если - собственный вектор оператора с собственным значением l, то - собственный вектор с собственным значением. Кратности собственных чисел l и совпадают.
Действительно, уравнения и эквивалентны, матрица [ ] вещественна, и поэтому характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты.
Итак, если A: ® вещественный линейный оператор (соответствующий вещественной матрице A), то в пространстве существует базис, в котором комплексифицированному оператору соответствует матрица, имеющая жорданову нормальную форму (1.67). При этом, наряду с жордановой клеткой
(l - комплексное собственное значение A) в матрице (1.67) присутствует клетка той же размерности с числом, т.е.
Базисные вектора мы разобьем на s групп (по числу жордановых клеток матрицы (1.67))
количество векторов в каждой такой группе равно размерности соответствующей клетки жордана. Поскольку координатный столбец имеет вид
то первая группа векторов, соответствующая первой жордановой клетке
удовлетворяет соотношениям
Такая система векторов называется серией с собственным значением l1 относительно оператора. Поскольку матрица [ ] = A вещественна, то серии можно выбрать так, чтобы серии с действительными собственными значениями были действительны, а серии с комплексными собственными значениями были попарно сопряжены.
Из (1.78) следует, что
Решение комплексифицированного уравнения (1.77) с начальным условием дается формулой
Если начальный вектор вещественный, то раскладывая его по базису x, получаем
причем константы при действительных векторах действительны, а при комплексно сопряженных - комплексно сопряжены. В силу формул (1.79) тогда получаем
Решение (1.82) действительно и в исходной системе координат имеет вид
Здесь и очевидно, эти вектора удовлетворяют соотношениям вида (1.78) с матрицей.
|