Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение n -го порядка для одной неизвестной функции z независимого переменного t с постоянными коэффициентами имеет вид:

(2.1)

где a₁,¼,a_n - постоянные числа (действительные или комплексные). К уравнению (2.1), очевидно, применима теорема существования и единственности, причем интервалом определения решений этого уравнения будет вся действительная ось. (См. соответствующую формулировку в первом параграфе первой главы). Решения уравнения (2.1) будут построены в явном виде и тем самым установлена еще раз теорема существования. Теорема единственности будет использоваться по существу для доказательства того, что найдены все решения данного уравнения.

Прежде, чем приступить к решению уравнения (2.1) условимся о некоторых обозначениях и понятиях.

Производную по времени от произвольной функции z = z (t) удобно обозначать через pz = p (z), трактуя символ p как линейную операцию над функцией z:

(2.2)

Тогда натуральная степень k операции p, обозначаемая через p^k, естественно понимается как и представляет собой производную k -го порядка от функции z:

(2.3)

Ясно, что степень p^k операции p подчиняется формальным алгебраическим правилам

Естественным представляется определение операции cp^k, где c - число и суммы p^k + p^m:

(2.4)

Пользуясь введенными обозначениями, мы можем записать левую часть уравнения (2.1) в виде

(2.5)

Положим

(2.6)

Данное выражение в соответствии с равенством (2.5) представляет собой линейную операцию над функцией z, т.е.

(2.7)

С другой стороны само выражение (2.6) представляет собой выражение относительно символа p с постоянными (действительными или комплексными) коэффициентами, для которого справедливы обычные алгебраические правила оперирования, т.е. если L (p) и M (p) - два произвольных многочлена относительно символа p (или, как говорят, оператора дифференцирования p), то

Предложение 2.1.1 Если L(p) -многочлен относительно оператора дифференцирования вида (2.6), то справедлива следующая формула

(2.8)

Здесь l - произвольное действительное или комплексное число;

Доказательство. Мы имеем

Отсюда следует, что и поэтому справедлива формула (2.8).

Из формулы (2.8) следует, что функция e^lt является решением уравнения (2.1), т.е.

тогда и только тогда, когда число l есть корень многочлена L (l), т.е.

L (l) = 0.

(2.9)

Многочлен L (l) называется характеристическим многочленом уравнения (2.1), а уравнение (2.9) - характеристическим уравнением.

Совокупность всех решений уравнений (2.1) описывается несколько по разному в зависимости от того имеет ли кратные корни характеристическое уравнение (2.9), либо корни простые. Рассмотрим отдельно эти случаи.

I. Случай простых корней характеристического уравнения.

Теорема 2.1.1 Предположим, что характеристический многочлен L(l) уравнения

(2.10)

имеет только простые корни, которые обозначим через

Положим

(2.11)

Тогда при любых комплексных постоянных функция

(2.12)

является решением уравнения (2.10). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.10) может быть получено по формуле (2.12) при надлежащем выборе постоянных.

Доказательство. Из предложения 2.1.1 (см. формулу (2.8)) следует, что каждая функция в (2.11) является решением уравнения (2.10), а из равенства

(где j₁,¼,j_k - произвольные достаточно гладкие функции; a₁,¼,a_k - произвольные константы) следует, что при любых комплексных постоянных функция (2.12) также является решением рассматриваемого уравнения. Покажем, что если - произвольное решение уравнения (2.10), то оно может быть представлено по формуле (2.12). Мы можем считать, что решение z_* (t) определено на всей прямой -¥ < t < ¥. Положим

Покажем теперь, что константы в (2.12) могут быть выбраны такими, что решение z (t), определяемое формулой (2.12), удовлетворяет тем же самым начальным условиям:

(2.13)

Другими словами следует выбрать константы так, чтобы выполнялись следующие равенства:

(2.14)

Эти соотношения представляют собой линейную алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных и для того, чтобы она была разрешима достаточно, чтобы определитель матрицы

(2.15)

был отличен от нуля. Вычисляя элементы этой матрицы в соответствии с формулами (2.11), видим, что матрица (2.15) имеет вид

(2.16)

Так как все числа l₁,¼,l_n попарно различны, то определитель матрицы (2.16) отличен от нуля (детерминант Вандермонда). Теорема доказана.

Если коэффициенты a_i уравнения (2.10) действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений из совокупности (2.12) всех комплексных решений.

С этой целью докажем одно вспомогательное утверждение.

Предложение 2.1.2 Пусть

(2.17)

- система из n линейно независимых комплексных векторов в n-мерном пространстве. Предположим, что система (2.17) вместе с каждым вектором содержит сопряженный ему вектор. Тогда вектор, определяемый формулой

(2.18)

является действительным тогда и только тогда, когда коэффициенты стоящие при сопряженных векторах сопряжены, а коэффициенты стоящие при действительных векторах, действительны.

Доказательство. Предположим для определенности, что система векторов (2.17) занумерована таким образом, что ее вектора удовлетворяют соотношениям:

(2.19)

Тогда вектор в силу (2.18) имеет вид

(2.20)

а комплексно сопряженный вектор имеет вид:

(2.22)

то из формул (2.20) и (2.21) следует, что =, то есть вектор действителен. Итак, в одну сторону утверждение доказано. Обратно, предположим, что вектор действителен, т.е. =. Тогда из формул (2.20) и (2.21) в силу линейной независимости векторов (2.17) вытекают соотношения (2.22). Предложение доказано.

Вернемся к задаче выделения действительных решений. Допустим, что коэффициенты многочлена L (p) в (2.10) действительны. Тогда комплексными корнями характеристического уравнения L (l) = 0 обязательно являются комплексно-сопряженные значения l и` l. Соответствующие решения e^lt и уравнения (2.10) сопряжены между собой. Если же корень l действителен, то и решение e^lt действительно. Таким образом в системе функций (2.11) наряду с каждым решением имеется и комплексно-сопряженное к нему. Для того, чтобы решение (2.12) уравнения (2.10) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стоящие при комплексно-сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны.

Для доказательства введем вектора

(2.23)

Векторы ¹,¼, ⁿ линейно-независимы, так как определитель матрицы (2.15), столбцами которой являются данные вектора, отличен от нуля. Так как вектор действительный (речь ведь идет о том, чтобы выделить действительное решение z_* (t)), а вектора ¹,¼, ⁿ удовлетворяют условиям предложения 2.1.2, то необходимость сформулированного выше утверждения следует из предложения 2.1.2. Достаточность легко проверяется непосредственно - если l₁ и l₂ - комплексно-сопряженные корни, а C₁ и C₂ - две комплексно-сопряженные константы, то функции C₁e^l₁^t и C₂e^l₂^t комплексно-сопряжены и поэтому их сумма действительна.

II. Случай кратных корней характеристического уравнения

Если характеристический многочлен

уравнения

L (p) z = 0

(2.24)

имеет кратные корни, то среди функций вида e^lt нельзя найти n различных решений уравнений (2.24). Как будет показано ниже, если l - корень характеристического многочлена кратности k, то решениями уравнения (2.24) являются все функции

Доказательству соответствующей теоремы предпошлем доказательство так называемой формулы смещения.

Предложение 2.1.3 Пусть L(p) - произвольный многочлен, l - произвольное комплексное число и f(t) - произвольная достаточное число раз дифференцируемая функция. Тогда имеет место следующая формула:

(2.25)

Доказательство. Формулу (2.25) установим сначала для случая L (p) º p. Действительно, мы имеем:

Теперь формулу (2.25) легко проверить для многочлена первой степени L (p) = ap + b. В самом деле

В общем случае формулу (2.25) докажем по индукции относительно степени многочлена L (p). Для n = 1 формула, как мы видели, верна. Допустим, что она справедлива для многочлена степени n - 1 (n ³ 2), и докажем ее для многочлена L (p) степени n. С этой целью многочлен L (p) степени n разложим на множители L (p) = L₁ (p) L₂ (p), где L₁ (p) - многочлен степени 1, а L₂ (p) - многочлен степени n - 1. Так как для каждого из многочленов L₁ (p) и L₂ (p) формула (2.25) верна, то

Таким образом, формула (2.25) доказана.

Предложение 2.1.4 Пусть функция w_r(t) действительного переменного t определяется по формуле

(2.26)

где - дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; l - комплексное число, r ³ 0 - целое число.

Если l - k - кратный корень многочлена L(p), то функции w₀(t),w₁(t),¼,w_k-1(t) тождественно равны нулю. Обратно, если функцииw₀(t),w₁(t),¼,w_k-1(t) равны нулю хотя бы для одного значения t = t₀, т.е.

(2.27)

то l есть корень многочлена L(p) и кратность этого корня не меньше k.

Доказательство. В силу формулы смещения (2.25) мы имеем

(2.28)

Предположим, что l - корень многочлена L (p) кратности k. Тогда

и, следовательно,

(2.29)

В силу формулы (2.28) тогда получаем, что

Так как, очевидно, при r £ k - 1, то первая часть предложения доказана.

Предположим теперь, что имеют место соотношения (2.27). Разлагая выражение L (p + l) по степеням p, получим:

(2.30)

В силу формул (2.30) и (2.28) мы имеем:

(2.31)

Таким образом,

и, следовательно, b₀ = 0. Далее, и, значит, b₁ = 0. Допустим, что имеют место равенства:

(2.32)

и, докажем, что b_r = 0. Из (2.31) и (2.32) следует:

Из условий (2.27) отсюда следует

b_r = 0.

Таким образом, и, следовательно, многочлен L (p + l) имеет вид

Из этого равенства следует представление

а это означает, что число l есть корень многочлена L (p), причем его кратность не меньше k. Предложение доказано.

Сформулируем теперь основное утверждение данного раздела.

Теорема 2.1.2 Пусть

L (p) z = 0

(2.33)

- линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Пусть l₁,¼,l_m - совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена L(p) уравнения (2.33), причем кратность корня l_j равна k_j, так что k₁ + k₂ + ¼ + k_m = n. Положим

(2.34)

Тогда все функции (2.34) являются решениями уравнения (2.33) и поэтому при любых комплексных постоянных C₁,¼,C_n функция

(2.35)

также является решением этого уравнения. Решение вида (2.35) является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2.33) может быть получено по формуле (2.35) при надлежащем выборе констант C₁,¼,C_n. При этом константы C₁,¼,C_nоднозначно определяются для каждого данного решения z.

Доказательство теоремы 2.1.2. Из предложения 2.1.4 немедленно следует, что функции в (2.34) являются решениями уравнения (2.33). Докажем теперь, что выбирая подходящим образом константы C₁,¼,C_n, мы можем по формуле (2.35) получить произвольное решение z_* (t) уравнения (2.33).

Итак, пусть z_* = z_* (t) - произвольное решение уравнения (2.33), определенное на некотором интервале r₁ < t < r₂ и пусть t₀ - некоторое число из этого интервала. Положим:

(2.36)

Теперь будем искать такие константы C₁,¼,C_n, чтобы решение вида (2.35) удовлетворяло тем же начальным условиям, что и заданное решение z_* (t). Тогда будем иметь z = z_* в силу теоремы единственности. Для определения констант C₁,¼,C_n мы получаем алгебраическую систему уравнений

(2.37)

Для того, чтобы система (2.37) была однозначно разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы

(2.38)

был отличен от нуля. Покажем, что этот детерминант действительно не равен нулю. Для этого достаточно убедиться, что строки матрицы (2.38) линейно независимы. Допустим противное и пусть b₀, b₁,¼,b_n-1 - постоянные, не обращающиеся одновременно в нуль, такие что

(2.39)

и перепишем равенства (2.39) в виде

(2.40)

Равенства (2.40) для номеров j = 1,¼, k₁, в силу второй части предложения 2.1.4, дают, что число l₁ является корнем многочлена M (p) кратности, не менее, чем k₁. Точно также для j = k₁ + 1,¼, k₁ + k₂ равенства (2.40) дают, что l₂ есть, по меньшей мере, k₂ -кратный корень многочлена M (p). Совокупность всех равенств (2.40) приводит нас к выводу, что (с учетом кратности) многочлен M (p) имеет не менее n корней, а это невозможно, так как степень многочлена M (p) не выше, чем n - 1. Таким образом, предложение о равенстве нулю детерминанта матрицы (2.38) привело нас к противоречию и, следовательно, однозначная разрешимость системы (2.37)установлена. Теорема полностью доказана.

Следствие 2.1.1. Каждое решение z(t) уравнения (2.33) может быть представлено в виде:

где f_j(t), j = 1,¼,m - многочлен степени не выше k_j - 1. Многочлены f_j(t) определены однозначно решением z(t), так как их коэффициенты выражаются через константы интегрирования C₁,¼,C_m, которые в силу теоремы 2.1.2 определяются решением z(t) однозначно.

Выделение действительных решений.

Предположим, что коэффициенты уравнения (2.33) действительны. Пусть l (p) - некоторый корень характеристического многочлена L (p) кратности k; тогда функции t^re^lt при r = 0,¼, k -1 являются решениями уравнения (2.33). Если корень l действительный, то и функции t^re^lt действительны. Если корень l - комплексный, то наряду с решением t^re^lt имеется комплексно-сопряженное ему решение, так как число` l также является корнем многочлена L (p) кратности k. Итак, в системе решений (2.34) наряду с каждым комплексным решением имеется сопряженное с ним решение. Для того, чтобы решение (2.35) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при действительных решениях были действительными, а коэффициенты у попарно сопряженных решений были попарно сопряжены. Доказательство этого утверждения полностью повторяет доказательство аналогичного утверждения в случае простых корней, которое приведено после теоремы 2.1.1.

Дата добавления: 2014-01-03