Основная теорема теории линейных систем уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1.52)

Здесь x₁,¼,x_n - искомые функции независимого переменного t; a_ij - заданные вещественные постоянные. Матрица (a_ij) = A, составленная из коэффициентов a_ij, называется матрицей системы. Совокупность скалярных величин x₁,¼,x_n можно трактовать как координатный столбец вектора в n -мерном линейном пространстве, в котором фиксирована некоторая координатная система. Этот вектор есть функция переменного t и в этом смысле представляет собой движущуюся точку (если t трактовать как время) в пространстве. Матрица задает линейный оператор A, действующий в пространстве (A: ®), такой, что

(1.53)

Переписав тогда (с учетом формулы (1.53)) систему (1.52) в матричной форме

(1.54)

мы приходим к инвариантной (не зависящей от координатной системы) форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

(1.55)

A: ® - линейный оператор в вещественном n -мерном линейном пространстве.

Теорема 1.2.1 Решение системы уравнений (1.55) с начальным условием

(1.56)

дается формулой

(1.57)

Доказательство. Согласно формуле дифференцирования (1.48) мы имеем:

Итак, функция - решение. Поскольку, то. По теореме единственности всякое решение уравнения (1.55), удовлетворяющее условию (1.56) совпадает в своей области определения с решением (1.57).

Дата добавления: 2014-01-03