Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами





В настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение
L(p)z = F,
(2.41)

где - дифференциальный оператор n-го порядка с постоянными коэффициентами, а F = F(t) - известная функция вида:

 
(2.42)

l1,¼,lm - некоторые комплексные числа, a f1(t),¼,fm(t) - многочлены от t.

Всякую функцию вида (2.42) называют квазимногочленом. Как доказано в теореме 2.1.2, каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Заметим еще, что без ограничения общности рассуждений, можно считать числа l1,¼,lm, входящие в формулу (2.42), попарно различными. Линейная комбинация квазимногочленов есть квазимногочлен; произведение двух квазимногочленов представляет собой квазимногочлен; если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L(p), то мы вновь получим квазимногочлен.

Предложение 2.2.1 Предположим, что - некоторое решение уравнения (2.41). Тогда произвольное решение z(t) этого же уравнения может быть записано в виде:

 
(2.43)

где u - некоторое решение однородного уравнения

L(p)u(t) = 0.
(2.44)

Так как отыскивать произвольное решение однородного уравнения мы уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию какого-либо одного или, как говорят, частного решения неоднородного уравнения (2.41), правая часть которого F(t) есть квазимногочлен. При этом в силу формулы (2.42), достаточно найти частное решение уравнения (2.41), в том случае, когда F(t) =f(t)elt, где f(t) - многочлен. Для квазимногочлена общего вида (2.42) частное решение получим в виде суммы частных решений, соответствующих каждому слагаемому в формуле (2.42).

Теорема 2.2.1 Рассмотрим неоднородное уравнение

L(p)z = f(t)elt,
(2.45)

в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а l - комплексное число. Положим k = 0, если L(l) ¹ 0 и k - кратность корняl, если L(l) = 0. Тогда существует частное решение уравнения (2.45), имеющее вид:



z(t) = tkg(t)elt,
(2.46)

где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Доказательство. Запишем многочлен f(t) в виде

 
(2.47)

где f*(t) - многочлен степени r - 1 и будем искать многочлен g(t) в виде:

 
(2.48)

g*(t) - многочлен степени r - 1.

Далее, в силу определения числа k, мы имеем

 
(2.49)

причем M(l) ¹ 0. Для того, чтобы функция (2.46) была решением уравнения (2.45), необходимо выполнить условие (см. формулу смещения)

 

То есть, многочлен g(t) должен удовлетворять условию

 
(2.50)

Многочлен M(p + l) может быть записан в виде:

 
(2.51)

Принимая во внимание соотношения (2.47)-(2.51), равенство (2.50) перепишем так:

 

или

  (2.52)

Старшими членами в данном равенстве являются члены, содержащие tr. Приравнивая такие члены, получаем:

 
(2.53)

Поскольку M(l) ¹ 0, то из (2.53) однозначно определяется коэффициент b0 искомого многочлена g(t). Считая, что b0 выбран именно таким образом, получаем в силу (2.52) уравнение

 
(2.54)

В правой части данного равенства стоит известный многочлен степени r - 1, а в левой части присутствует неизвестный многочленg*(t) степени r - 1. Уравнение (2.54) отличается от уравнения (2.50) только степенью входящих в него многочленов, которая понизилась на единицу. Повторяя для уравнения (2.54) рассуждения, приведенные ранее для уравнения (2.50), мы вычисляем коэффициент b1 при степени tr-1 (высшей степени многочлена g*(t)). Продолжая этот процесс дальше, мы вычисляем все коэффициенты b0,b1,¼,br многочлена g(t), таким образом, чтобы он удовлетворял уравнению (2.50). Теорема 2.2.1 доказана.

 

ЧАСТЬ 2. ГЛАВА 1

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 499; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.