Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

В настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение

L (p) z = F,

(2.41)

где - дифференциальный оператор n -го порядка с постоянными коэффициентами, а F = F (t) - известная функция вида:

(2.42)

l₁,¼,l_m - некоторые комплексные числа, a f₁ (t),¼, f_m (t) - многочлены от t.

Всякую функцию вида (2.42) называют квазимногочленом. Как доказано в теореме 2.1.2, каждое решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом. Заметим еще, что без ограничения общности рассуждений, можно считать числа l₁,¼,l_m, входящие в формулу (2.42), попарно различными. Линейная комбинация квазимногочленов есть квазимногочлен; произведение двух квазимногочленов представляет собой квазимногочлен; если к произвольному квазимногочлену применить произвольный оператор L (p), то мы вновь получим квазимногочлен.

Предложение 2.2.1 Предположим, что - некоторое решение уравнения (2.41). Тогда произвольное решение z(t) этого же уравнения может быть записано в виде:

(2.43)

где u - некоторое решение однородного уравнения

L (p) u (t) = 0.

(2.44)

Так как отыскивать произвольное решение однородного уравнения мы уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию какого-либо одного или, как говорят, частного решения неоднородного уравнения (2.41), правая часть которого F (t) есть квазимногочлен. При этом в силу формулы (2.42), достаточно найти частное решение уравнения (2.41), в том случае, когда F (t) = f (t) e^l^t, где f (t) - многочлен. Для квазимногочлена общего вида (2.42) частное решение получим в виде суммы частных решений, соответствующих каждому слагаемому в формуле (2.42).

Теорема 2.2.1 Рассмотрим неоднородное уравнение

L (p) z = f (t) e^l^t,

(2.45)

в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а l - комплексное число. Положим k = 0, если L(l) ¹ 0 и k - кратность корняl, если L(l) = 0. Тогда существует частное решение уравнения (2.45), имеющее вид:

z (t) = t^kg (t) e^l^t,

(2.46)

где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

Доказательство. Запишем многочлен f (t) в виде

(2.47)

где f^* (t) - многочлен степени r - 1 и будем искать многочлен g (t) в виде:

(2.48)

g^* (t) - многочлен степени r - 1.

Далее, в силу определения числа k, мы имеем

(2.49)

причем M (l) ¹ 0. Для того, чтобы функция (2.46) была решением уравнения (2.45), необходимо выполнить условие (см. формулу смещения)

То есть, многочлен g (t) должен удовлетворять условию

(2.50)

Многочлен M (p + l) может быть записан в виде:

(2.51)

Принимая во внимание соотношения (2.47)-(2.51), равенство (2.50) перепишем так:

или

(2.52)

Старшими членами в данном равенстве являются члены, содержащие t^r. Приравнивая такие члены, получаем:

(2.53)

Поскольку M (l) ¹ 0, то из (2.53) однозначно определяется коэффициент b₀ искомого многочлена g (t). Считая, что b₀ выбран именно таким образом, получаем в силу (2.52) уравнение

(2.54)

В правой части данного равенства стоит известный многочлен степени r - 1, а в левой части присутствует неизвестный многочлен g^* (t) степени r - 1. Уравнение (2.54) отличается от уравнения (2.50) только степенью входящих в него многочленов, которая понизилась на единицу. Повторяя для уравнения (2.54) рассуждения, приведенные ранее для уравнения (2.50), мы вычисляем коэффициент b₁ при степени t^r^-¹ (высшей степени многочлена g^* (t)). Продолжая этот процесс дальше, мы вычисляем все коэффициенты b₀,b₁,¼,b_r многочлена g (t), таким образом, чтобы он удовлетворял уравнению (2.50). Теорема 2.2.1 доказана.