Комплексные дифференциальные уравнения

До сих пор рассматривались лишь действительные дифференциальные уравнения и их действительные решения. Однако в некоторых случаях бывает легче найти сначала комплексные решения данного уравнения, а затем выделить из них действительные решения. Для изложения этого подхода условимся относительно некоторых понятий.

I. Комплексной функцией c действительного переменного t называется однозначное отображение

(1.54)

интервала действительной оси (r₁,r₂) в поле комплексных чисел C и, следовательно, такие функции могут быть представлены в виде:

где j (t) и y (t) - действительные функции переменного t. Функция j называется действительной частью комплексной функции c, а y - мнимой частью функции c. Комплексная функция называется непрерывной в точке t₀ Î (r₁,r₂), если в этой точке непрерывно отображение (1.54). Другими словами - для любого e > 0 найдется такое d = d (e, t₀) > 0, что соотношение | t - t₀ | < d, t Î (r₁,r₂) влечет за собой неравенство

Данное определение равносильно тому, что непрерывными в точке t₀ являются действительная j и мнимая y части функции c. Функция c называется непрерывной на промежутке r₁ < t < r₂, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Из сказанного выше ясно, каким образом должно быть дано определение ее дифференцируемости в точке. Это определение эквивалентно требованию дифференцируемости вещественных функций. При этом производная комплексной функции c (t) выражается формулой

Формулы дифференцирования суммы, произведения и частного комплексных функций действительного переменного имеют тот же самый вид, что и для вещественных функций.

II. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений нормального вида

(1.55)

предполагая, что h_i - комплексные функции, зависящие от действительного переменного t и комплексных значений переменных z₁,¼,z_n. Ограничимся, например, случаем когда эти функции являются многочленами относительно переменных z₁,¼,z_n, т.е.

(1.56)

где коэффициенты представляют собой заданные действительные или комплексные функции действительного переменного t, определенные и непрерывные на промежутке q₁ < t < q₂. При этих условиях вполне естественной представляется постановка вопроса об отыскании комплексных решений системы (1.55).

Систему

(1.57)

комплексных функций действительного переменного t, определенных и непрерывно дифференцируемых на интервале q₁ < t < q₂ будем называть решением системы (1.55), если при замене переменных z_i функциями переменной t по формулам (1.57) мы получаем систему тождеств по t на этом интервале.

Замечая, что в силу предположения (1.56) правые части h_i уравнений (1.55) определены для всех значений переменных z₁,¼,z_n, сформулируем следующую теорему существования и единственности для системы (1.55) (Аналогично теореме 1.3.1).

Теорема 1.5.1 Пусть

- произвольная система начальных значений, подчиненная условию, что точка принадлежит области определения системы (1.55).

Тогда существует решение

(1.58)

системы (1.55), определенное на некотором интервале (r₁,r₂), содержащем значение t⁰, и удовлетворяющее начальным условиям:

(1.59)

При этом всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.

Докажем это утверждение. Представив искомые функции z_i в виде

(1.60)

и введя действительные функции f_j и g_j действительных аргументов посредством соотношений:

(1.61)

получаем, что система уравнений (1.55) эквивалентна следующей системе действительных уравнений

(1.62)

В силу формул (1.56) правые части f_j и g_j системы (1.62) являются многочленами относительно переменных и поэтому определены при всех значениях этих переменных. Так как коэффициенты a_ij многочленов h_i являются непрерывными функциями переменного t на интервале q₁ < t < q₂, то на том же интервале определены и непрерывны коэффициенты многочленов f_j и g_j. Таким образом, правые части системы (1.62) определены и удовлетворяют условиям теоремы 1.3.1 в полосе

(1.63)

В силу теоремы 1.3.1 существует единственное решение

(1.64)

системы уравнений (1.62), удовлетворяющее начальным условиям:

(1.66)

представляют собой решение задачи (1.55), (1.59). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если система (1.55) линейна относительно переменных z₁,¼,z_n, то есть

(1.67)

то и система (1.62) также является линейной. Согласно теореме 1.3.2 и сказанного выше комплексное решение z = c (t) определено на всем интервале q₁ < t < q₂ непрерывности коэффициентов a_jk (t) в (1.67).

Замечание 2. И в том случае, когда правые части h_i системы (1.55) представляют собой действительные многочлены (т.е. коэффициенты a_ij (t) в формуле (1.56) - суть действительные функции) и формально, следовательно, система (1.55) является действительной, мы можем, тем не менее, искать ее комплексные решения, считая, что функции z₁,z₂,¼,z_n комплексные. Такой подход к действительным уравнениям применяется потому, что в ряде случаев легче найти комплексные решения действительных уравнений, чем их действительные решения. При таком подходе находят сначала комплексные решения данной действительной системы, а затем из них выделяют такие решения, мнимые части которых равны нулю, т.е. действительные решения. Именно таким приемом будут далее решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Замечание 3. Так же как и в действительном случае, можно рассматривать комплексные дифференциальные уравнения высокого порядка довольно общего вида, и приемом, изложенным в параграфе 1.4 данной главы, свести их к нормальной системе. Для иллюстрации мы сформулируем здесь теорему существования и единственности только для одного комплексного уравнения n -го порядка, разрешенного относительно высшей производной.

Теорема 1.5.2 Пусть

(1.68)

- уравнение порядка n, правая часть f в которой является многочленом относительно переменных с коэффициентами, являющимися непрерывными комплексными функциями переменного t, определенными на интервале q₁ < t < q₂. Пусть - произвольные начальные значения, где - произвольные комплексные числа, а t⁰ - действительное число, удовлетворяющее неравенствам q₁ < t⁰ < q₂. Тогда существует решение z = c(t) уравнения (1.68), удовлетворяющее начальным условиям:

(1.69)

Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов определения.

Если уравнение (1.68) линейно, то есть

(1.70)

то для любых допустимых начальных значений существует решение, определенное на всем интервале q₁ < t < q₂ непрерывности коэффициентов a_j (t) многочлена (1.70).

III. При изучении линейных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет комплексная функция e^l^t действительного переменного t, где l - комплексное число. В качестве определения этой функции может быть принята формула

(1.71)

Для комплексных значений l (так же как и для действительных значений) имеет место формула дифференцирования

(1.72)

Для произвольного комплексного числа w = u + i v справедливы формулы: