Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят явно производные искомых функций до некоторого порядка. Если неизвестными являются функции двух или более переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных. В противном случае, то есть если искомая функция зависит только от одного вещественного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом курсе будем иметь дело только с последними. Так как во многих физических приложениях независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, то в дальнейшем, как правило, независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т.д. Рассмотрим в первую очередь одно дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения следующий:

(1.1)

Здесь t - независимое переменное, x - неизвестная функция, зависящая от t. - ee производная. F - заданная функция трех вещественных переменных. Функция F, вообще говоря, может быть задана не для всех значений своих аргументов, поэтому следует говорить об области W задания функции F, имея в виду область координатного пространства трех (вещественных) переменных t, x,.

Уравнение (1.1) называется уравнением первого порядка потому, что в него входит лишь производная первого порядка от неизвестной функции x.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция x = j (t) независимого переменного t, определения на некотором интервале r₁ < t < r₂ (случаи r₁ = -¥ и r₂ = + ¥ не исключаются), которая дифференцируема в каждой точке этого интервала и при подстановке ее вместо x в соотношение (1.1) мы получаем тождество (по t) на всем интервале r₁ < t < r₂.

Интервал r₁ < t < r₂ называется интервалом определения решения j (t).

Очевидно, что подстановка функции x = j (t) в соотношение (1.1) возможна только в том случае, когда точка с координатами (t, j (t),) принадлежит области W определения функции F при произвольном t из интервала r₁ < t < r₂.

Соотношение (1.1) связывает три переменные: t, x,. В некоторых случаях из (1.1) переменная может быть выражена в виде однозначной функции переменных t, x. В этом случае дифференциальное уравнение (1.1) равносильно дифференциальному уравнению вида

(1.2)

Дифференциальное уравнение (1.2) называется разрешенным относительно производной или уравнением нормального вида; Именно уравнения нормального вида мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (1.2) получено в результате разрешения относительно уравнения вида (1.1), а будем исходить из функции f (t,x) как из заданной функции двух независимых переменных t, x.

Для того, чтобы пользоваться геометрическими представлениями и терминологией, введем в рассмотрение координатную плоскость R² переменных t и x. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (1.2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и x, т.е. не на всей плоскости R² (t,x), а лишь в точках некоторого множества D этой плоскости. Относительно множества D в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым, а функция f является непрерывной относительно пары переменных t, x на всем множестве D.

График G_j= {(t, j (t)), r₁ < t < r₂ } решения x = j (t) уравнения (1.2) называется интегральной кривой этого дифференциального уравнения.

Интегральная кривая представляет собой кривую в плоскости R² с уравнением x = j (t), имеющую в каждой точке касательную и полностью проходящую в открытом множестве D.

Итак, интегральная кривая - геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Возможна геометрическая интерпретация и самого уравнения (1.2). Именно, через каждую точку (t, x) множества D проведем прямую l_t,x с угловым коэффициентом f (t, x). Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (1.2), что и является геометрической интерпретацией этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решения заключается в том, что любая интегральная кривая x = j (t) в каждой своей точке (t, j (t)) касается прямой l_t,_j_(t).

Теорема существования и единственности.

В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности, которая в этом параграфе приводится без доказательства. Сначала приведем подготовительный материал.

Пусть t₀, x ₀ - произвольная точка множества D, в котором определена правая часть f (t, x) уравнения (1.2).

Задача отыскания решения x = j (t) этого уравнения, удовлетворяющего дополнительному условию

(1.3)

называется задачей Коши (или задачей с начальным условием) для уравнения (1.2), а соотношение (1.3) - начальным условием для этого уравнения. Говорят также, что решение x = j (t) удовлетворяет начальному условию (1.3) или что оно имеет начальные значенияt₀, x ₀. Утверждение, что решение x = j (t) удовлетворяет начальному условию (1.3) предполагает, что интервал r₁ < t < r₂ определения решения x = j (t) содержит точку t ₀.

Геометрическая интерпретация задачи Коши состоит в том, чтобы через заданную точку (t₀, x ₀) множества D провести интегральную кривую дифференциального уравнения (1.2).

Далее, пусть функция f (t, x) определена на множестве D Ì R² (t, x). Говорят, что эта функция удовлетворяет условию Липшица относительно x (равномерно по t), если существует постоянная M > 0 (не зависящая от t) такая, что:

(1.4)

Постоянная M называется постоянной Липшица.

Теорема 1.1.1 (О существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть

(1.5)

- дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t,x) задана на некотором открытом множестве D плоскости R²(t,x) переменных t, x. Относительно функции f(t,x) будем предполагать, что она непрерывна на D и удовлетворяет на этом множестве условию Липшица (1.4) относительно x (равномерно по t). Теорема утверждает, что:

1) для всякой точки (t₀, x₀) Î D найдется решение x = j(t) уравнения (1.5), удовлетворяющее начальному условию

(1.6)

2) если два решения x = y(t) и x = c(t) уравнения (1.5) совпадают хотя бы для одного значения t₁, т.е. если

y(t₁) = c(t₁),

то эти решения тождественно равны для всех значений переменного t, для которых они оба определены.

Таким образом, теорема 1.1.1 утверждает, что координаты любой точки (t₀, x ₀) множества D являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (1.5) и что два решения с общими начальными значениями совпадают на пересечении их интервалов определения.

Геометрическое содержание теоремы 1.1.1 заключается в том, что через каждую точку (t₀, x₀) Î D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1.5).

Говоря, что через каждую точку (t₀, x₀) Î D проходит "только одна" интегральная кривая, мы допустили некоторую неточность. Действительно, решением уравнения (1.5) называется функция x = y (t), заданная на вполне определенном интервале r₁ < t < r₂. Наряду с этой функцией может существовать функция x = c (t), также удовлетворяющая уравнению (1.5) и начальному условию (1.6), заданная на другом интервале s₁ < t < s₂. Вторая часть теоремы 1.1.1 утверждает лишь, что функции y (t) и c (t) совпадают лишь там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что их интервалы определения r₁ < t < r₂ и s₁ < t < s₂ одинаковы.

Говорят, что решение x = y (t), заданное на интервале s₁ < t < s₂ является продолжением решения x = j (t), заданного на интервале r₁ < t < r₂, если (r₁,r₂) Ì (s₁,s₂) и y (t) º j (t) " t Î (r₁,r₂). Решение называется непродолжаемым, если не существует никого отличного от него продолжения. Далее будет доказано, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого, причем единственным образом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение теоремы 1.1.1 о том, что через каждую точку (t₀, x ₀) Î D проходит единственная интегральная кривая, становиться точным.

Замечание к теореме 1.1.1. Если правая часть f (t, x) уравнения (1.5) не удовлетворяет условию Липшица (1.4), то вторая часть теоремы (о единственности), вообще говоря, не справедлива. Действительно, рассмотрим уравнение

(1.7)

Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех x, однако условию Липшица в областях, содержащих точки (t,0), не удовлетворяет, ибо для точек (t,0), (t,x) не существует постоянной M > 0 такой, что

С другой стороны, ясно, что в любой области P плоскости R² (t,x), не пересекающейся с прямой x = 0, к уравнению (1.7) теорема 1.1.1 применима, и таким образом, в каждой из полуплоскостей x > 0 и x < 0 через каждую точку проходит единственная интегральная кривая, уравнение которой можно найти явно. Действительно, нетрудно убедиться, что при любой постоянной c функция

(1.8)

уравнению (1.7) удовлетворяет.

Часть графика функции (1.8) (при t < c) проходит в полуплоскости x < 0, часть же (при t > c) - в полуплоскости x > 0. Функция x º 0, очевидно, также является решением уравнения (1.7).

Таким образом, через каждую точку (t,x) = (c,0) проходят два решения уравнения (1.7): решение (1.8) и решение x º 0.

В качестве иллюстрации теоремы 1.1.1 рассмотрим задачу об отыскании всех решений простейшего дифференциального уравнения

(1.9)

где a - действительная постоянная. В данном случае правая часть f (t, x) = ax определена на всей плоскости (t,x) и удовлетворяет на ней условию Липшица с постоянной M = | a |. Таким образом, теорема 1.1 к уравнению (1.9) применима. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что каждая функция

(1.10)

где C - произвольное действительное число, является решением уравнения (1.9). Интервалом определения решения (1.10) является вся прямая t Î (-¥,+¥) и поэтому оно является непродолжаемым. Покажем, что формула (1.10) исчерпывает все решения уравнения (1.9). Действительно, пусть x = j (t) - произвольное решение этого уравнения, заданное на интервале r₁ < t < r₂. Пусть t₀ Î (r₁,r₂) - произвольная точка и x₀ = j (t₀). Если в качестве постоянной C принять величину

то тогда два решения x = j (t) и уравнения (1.9) имеют одинаковые начальные значения t₀, x₀ и поэтому в силу второй части теоремы 1.1.1 совпадают. Таким образом, придавая постоянной C в (1.10) всевозможные значения, мы получим все решения уравнения (1.9).