Интегрируемые типы уравнений первого порядка

правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g (t,x) и h (t,x). Предполагается, что функции g (t,x) и h (t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t,x) и знаменатель h (t,x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде

Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F (t,x) на всем множестве D, т.е.

Таким образом,

Справедливо следующее утверждение:

Для каждого решения x = j (t) уравнения (1.11) имеет место тождество

Обратно, каждая функция x = j (t), заданная на некотором интервале и определяемая как неявная функция из уравнения

(C - произвольная постоянная), является решением дифференциального уравнения (1.11).

Действительно, пусть x = j (t) - решение уравнения (1.11) с интервалом определения r₁ < t < r₂. Тогда мы имеем, что

Отсюда получаем

В силу (1.14) тогда имеем

т.е.

Таким образом, F (t, j (t)) есть константа на всем интервале (r₁,r₂).

Обратно, предположим что x = j (t) есть решение уравнения (1.15), определенное на некотором интервале, так что

Дифференцируя это тождество по t, мы в силу (1.14) получаем:

Отсюда видно, что x = j (t) есть решение дифференциального уравнения (1.11). Утверждение доказано.

Из сказанного выше ясно, что решение конкретного уравнения в полных дифференциалах состоит в практическом нахождении функции F (t, x). Если функции h (t, x) и g (t, x) обладают непрерывными частными производными по t и x, то из (1.14) следует соотношение

Тождество (1.16), как известно, является необходимым, а в случае односвязной области D и достаточным условием того, что выражение

есть полный дифференциал некоторой функции F (t, x). Из курса математического анализа известно, что функцию F (t, x) можно определить по ее полному дифференциалу hdx - gdt, взяв криволинейный интеграл от h (t,x) dx - g (t,x) dt по любому пути L, соединяющему некоторую фиксированную точку (t₀, x₀) и точку (t,x) с текущими координатами:

Часто бывает возможным выбрать в качестве пути L ломаную, состоящую из двух звеньев, параллельных осям координат; в этом случае

В некоторых случаях, когда левая часть уравнения (1.12) не является полным дифференциалом, легко удается подобрать такую функцию m (t, x), после умножения на которую левая часть уравнения (1.12) превращается в полный дифференциал

Такая функция m называется интегрирующим множителем. (Заметим, что умножение на интегрирующий множитель m может привести к появлению лишних частных решений, обращающих функцию m в нуль). Из соотношения (1.17) следует, что

Если функции m, h и g непрерывно дифференцируемы в D, то из (1.18) следует равенство

Если область D односвязна, то равенство (1.19) является (подобно (1.16)) не только необходимым, но и достаточным условием существования функции F (t,x), для которой выполняется тождество (1.17).

В общем случае интегрирование (т.е. нахождение функции m) уравнения (1.19) в частных производных является задачей не более простой, чем решение исходного уравнения (1.11), однако в некоторых случаях подбор частного решения уравнения (1.19) не представляет затруднений.

II. Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения

где a (t), b (t) - заданные функции переменной t. Предположим, что функции a (t) и b (t) определены и непрерывны на некотором интервале r₁ < t < r₂ (возможно, что r₁ = -¥, r₂ = +¥ одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r₁ < t < r₂ на плоскости (t,x), если r₁ и r₂ конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r₁, r₂ и плоскость, если бесконечны обе величины r₁, r₂. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы выполнены.

Пусть t₀ - некоторая точка интервала (r₁,r₂). Положим

Функция A (t), очевидно, определена на интервале r₁ < t < r₂. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой

где x₀ - произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т.е. уравнение

Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде

Соответствующая функция F (t,x) легко вычисляется:

где A (t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения

Отсюда находим или

где C может принимать любые действительные значения.

Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной. То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение

в уравнение (1.20), получим:

или, что то же

Отсюда находим

где x₀ - константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22).

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид

Это уравнение заменой переменной сводится к линейному. Действительно, так как

то произведя подстановку, получим линейное уравнение

Рассмотрим уравнение Риккати:

Это уравнение в общем виде квадратурой не интегрируется, но может быть заменой переменных сведено к уравнению Бернулли, если известно одно частное решение этого уравнения. Действительно, если x₁ = x₁ (t) - известное частное решение, то полагая

получим

Так как

то приходим к уравнению Бернулли

III. Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения

Предположим, что функция f (t) определена и непрерывна на интервале r₁ < t < r₂, а функция g (x) определена, непрерывна и не обращается в нуль на интервале q₁ < x < q₂. Рассматриваемое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Именно, оно может быть символически записано в виде

а соответствующая функция F (t, x) задается формулой

Здесь x₀ Î (q₁,q₂), t₀ Î (r₁,r₂) - фиксированные точки, а x и t изменяются на этих же интервалах. В силу сказанного в разделе I все решения уравнения (1.27) получаются как неявные функции из соотношения

IV. Однородные уравнения

Уравнение первого порядка

называется однородным, если f (t,x) есть однородная функция своих аргументов нулевой степени однородности, т.е. имеет место тождество

Полагая в (1.28), получаем тождество

Таким образом, правая часть по существу зависит только от отношения переменных. Обозначая

видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде

Будем предполагать, что функция h (y) определена и непрерывна на интервале a₁ < y < a₂ и что на этом интервале функция h(y) - y в нуль не обращается.

Уравнение (1.29) решается посредством замены переменных. Точнее, вместо неизвестной функции x (t) введем новую неизвестную функцию y (t):

Произведя такую подстановку, для новой неизвестной функции y получаем уравнение

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, которое решается способом, указанным в III.

Замечание. Если h (y) º y, то уравнение (1.29) имеет вид

и интегрируется методом разделения переменных (его общее решение - x = Ct). Если h (y) - y обращается в нуль при y = y₀, то кроме решений, получающихся из (1.30), имеется решение.