Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Правила нахождения первообразных


Тема: Интегрирование функций одной переменной

ЛЕКЦИЯ № 1

План:

1. Первообразная функция.

2. Определения и простейшие свойства.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞ ; ∞ ).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2

Пример 1. Рассмотрим функцию на всей числовой оси -- на интервале . Тогда функция -- это первообразная для на .

Для доказательства найдём производную от :

 

Поскольку равенство верно при всех , то -- первообразная для на .

Пример 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х

Пример 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/2; п/2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos2

Пример 4.Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2

1. Пусть - первообразные для функций и соответственно, a, b, k – постоянные, . Тогда: - первообразная для функции ; - первообразная для функции ; -первообразная для функции .

2. Постоянный коэффициент можно выносить за знак интегрирования:

функции соответствует первообразная .

3. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций:

сумме функций соответствует сумма первообразных .

Пример 5. Найдите все первообразные для функции на промежутке . Так как - одна из первообразных для функции на промежутке , а - одна из первообразных для функции , то множество первообразных для функции на промежутке задается формулой .
Ответ: .

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.



Пример 6: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sinх+С–множество всех первообразных.

F1 (х) = Sin х-1
F2 (х) = Sin х
F3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация:График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример 7: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 12
С = 3
F(х) = х2+3

Теорема 1. Пусть -- некоторая первообразная для на интервале и -- произвольная постоянная. Тогда функция также является первообразной для на .

Доказательство. Покажем, что производная от даёт :

 

при всех . Таким образом, -- первообразная для .

Итак, если -- первообразная для на , то множество всех первообразных для , во всяком случае, содержит все функции вида . Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции отличаются от лишь постоянным на слагаемым .

Теорема 2 Пусть -- первообразная для на и -- некоторая другая первообразная. Тогда

 

при некоторой постоянной .

Доказательство. Рассмотрим разность . Поскольку и , то . Покажем, что функция , такая что при всех , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки и , принадлежащие , и к отрезку между и (пусть это ) применим формулу конечных приращений

 

где . (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку во всех точках , в том числе и , то . Следовательно, в произвольной точке функция принимает то же значение, что в точке , то есть .

Для первообразной это означает, что при любом , то есть

 

.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 1. Основные понятия управления персоналом | Строительство как производственная система

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1233; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. III.Общие правила выполнения и оформления текстовых и графических материалов, входящих в состав проектной документации
  2. Алгоритм Форда - Фалкерсона для нахождения потока наибольшей величины.
  3. Бизнес-правила
  4. В соответствии со ст. 39 СК РФ доли супругов признаются равными, но из этого правила есть исключения.
  5. Виды программного обеспечения (лицензионное, условно бесплатное, бесплатное) и правила их использования
  6. Внешний облик в деловом общении. Правила позитивного имиджа мужчины и женщины.
  7. Внешним совместителям пособия надо считать по совершенно новым правилам
  8. Вопрос 3. Правила перевозок грузов автомобильным транспортом в Украине
  9. Вопрос №1. Общие правила оказания самопомощи и взаимопомощи
  10. Время нахождения эвакуируемых в районах пребывания зависит от масштаба ЧС, видов примененных современных средств поражения и других факторов.
  11. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя
  12. Законы и правила аргументации

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.018 сек.