Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Правила нахождения первообразных

Тема: Интегрирование функций одной переменной

ЛЕКЦИЯ № 1

План:

1. Первообразная функция.

2. Определения и простейшие свойства.

Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х3 первообразная для f(х)=3х2 на (- ∞; ∞).
Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х3)`=3х2

Пример 1. Рассмотрим функцию на всей числовой оси -- на интервале. Тогда функция -- это первообразная для на.

Для доказательства найдём производную от:

 

Поскольку равенство верно при всех, то -- первообразная для на.

Пример 2. Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке (0; +), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство.
F`(х)= (х 1/2)`=1/2х-1/2=1/2х

Пример 3. Функция F(х)=tg3х есть первообразная для f(х)=3/cos3х на промежутке (-п/ 2; п/ 2),
т.к. F`(х)=(tg3х)`= 3/cos2

Пример 4. Функция F(х)=3sin4х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4х-1/х2на промежутке (0;∞)
т.к. F`(х)=(3sin4х)+1/х-2)`= 4cos4х-1/х2

1. Пусть - первообразные для функций и соответственно, a, b, k – постоянные,. Тогда: - первообразная для функции; - первообразная для функции; -первообразная для функции.

2. Постоянный коэффициент можно выносить за знак интегрирования:

функции соответствует первообразная.

3. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных этих функций:

сумме функций соответствует сумма первообразных.

Пример 5. Найдите все первообразные для функции на промежутке. Так как - одна из первообразных для функции на промежутке, а - одна из первообразных для функции, то множество первообразных для функции на промежутке задается формулой.
Ответ:.

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример 6: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех.

Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х
F(х) = Sinх+С–множество всех первообразных.

F1 (х) = Sin х-1
F2 (х) = Sin х
F3 (х) = Sin х+1

Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с).

Пример 7: Для функции f (х) = 2х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4)

Решение: F(х)=х2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи.
Следовательно, 4 = 12
С = 3
F(х) = х2+3

Теорема 1. Пусть -- некоторая первообразная для на интервале и -- произвольная постоянная. Тогда функция также является первообразной для на.

Доказательство. Покажем, что производная от даёт:

 

при всех. Таким образом, -- первообразная для.

Итак, если -- первообразная для на, то множество всех первообразных для, во всяком случае, содержит все функции вида. Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции отличаются от лишь постоянным на слагаемым.

Теорема 2 Пусть -- первообразная для на и -- некоторая другая первообразная. Тогда

 

при некоторой постоянной.

Доказательство. Рассмотрим разность. Поскольку и, то. Покажем, что функция, такая что при всех, -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки и, принадлежащие, и к отрезку между и (пусть это) применим формулу конечных приращений

 

где. (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку во всех точках, в том числе и, то. Следовательно, в произвольной точке функция принимает то же значение, что в точке, то есть.

Для первообразной это означает, что при любом, то есть

 

.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Лекция 1. Основные понятия управления персоналом | Строительство как производственная система
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1524; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.