Вычитания числа из суммы и суммы из числа

Определение разности. Теоретико-множественный смысл правил

Доказательство.

Законы сложения

Теорема 1. а+0 = а

Доказательство. Пусть а = n (А), b = n (C) A,B,C-попарно не пересекаются;
a = n (A), 0 = n (Ø)

a + 0 = n (A) + n (Ø) = n (A Ø) = n (A) = a

Теорема 2. Коммутативный закон (а, b N₀) a+b = b+a

(по опр.) (по коммут.з-ну для множеств) (по опр.)

a+b = n (A B) = n (B A) = b+a

Теорема 3. Ассоциативный закон (а,b,c N₀) a+(b+c) = (a+b)+c

Доказательство.

а + (b + c) = n (A) + n (B C) = n (A (B C) = n ((A B) C) = n (A B) + n (C) = (a+b)+c

(по определению, по ассоциативному закону для множеств)

Теорема 4. Закон сократимости (a,b,c N₀) a=ba+c = b+c

  c

А

В

С

С

a = b ⇒ A B ⇒A C B C ⇒ n (A C) = n (B C) ⇒

⇒ a+c = b+c

И коммутативный и ассоциативный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом коммутативный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а ассоциативный – что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из этих законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Пример: 209+66+91+34+72^ком.=209+91+66+34+72^асс.=(209+91)+(66+34)+72=300+100+72^соч. =(300+100)+72=400+72=472

Задача: У Пети было 5 книг. 2 книги он отдал почитать другу. Сколько книг осталось у Пети?

A={ a, b, c, d, e } n (A)=5

B={ a, b } n (B)=2

A\B=B´_A={ c, d, e } n(B´_A) = 3 ⇒ a –b = 3

Определение: Пусть а = n (A), b = n (B), B Ì A. Разностью чисел a –b называется число элементов в дополнении множества B до множества A (a –b = n (A\B) = n (B´_A))

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обращаемся к сложению. Почему?

А

В

В¢_А

Изобразим множества A, B на кругах Эйлера

B´_A B=

B´_A B=A

Так как множества B и) = n (B) + n (

Дата добавления: 2014-01-03