Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вероятность в непрерывном случае





С дискретными случайными переменными очень легко обращаться, поскольку они по определению принимают значения из некоторого конечного набора. Каждое из этих значений связано с определенной вероятностью, характеризующей его «вес». Если эти «веса» известны, то не составит труда рассчитать теоретическое среднее (математическое ожидание) и дисперсию.

Вы можете представить указанные «веса» как определенные количества «пластичной массы», равные вероятностям соответствующих значений. Сумма вероятностей и, следовательно, суммарный «вес» этой «массы» равен единице. Это показано на рис. A.1 для примера, где величина есть сумма очков, выпавших при бросании двух игральных костей. Величина принимает значения от 2 до 12, и для всех этих значений показано количество соответствующей «массы».

 

Рис. A.1.

К сожалению, анализ часто проводится для непрерывных случайных величин, которые могут принимать бесконечное число значений. Поскольку невозможно представить себе «пластичную массу», разделенную на бесконечное число частей, используем далее другой подход.

Проиллюстрируем наши рассуждения на примере температуры в комнате. Для определенности предположим, что она меняется в пределах от 55 до 75° по Фаренгейту, и вначале допустим, что все значения в этом диапазоне равновероятны.

Поскольку число различных значений, принимаемых показателем температуры, бесконечно, здесь бессмысленно пытаться разделить «пластичную массу» на малые части. Вместо этого можно «размазать» ее по всему диапазону. Поскольку все температуры от 55 до 75° F равновероятны, она должна быть «размазана» равномерно, как это показано на рис. A.2.

 

Рис. A.2.

В этом примере, как и во всех остальных, мы будем полагать, что «пластичная масса размазана» на единичной площади. Это связано с тем, что совокупная вероятность всегда равняется единице. В данном случае наша «масса» покрыла прямоугольник, и поскольку основание этого прямоугольника равно 20, его высота определяется из соотношения:

, (A.10)

так как произведение основания и высоты равно площади. Следовательно, высота равна 0,05, как это показано на рисунке.



Найдя высоту прямоугольника, мы можем ответить на вопросы типа: с какой вероятностью температура будет находиться в диапазоне от 65 до 70°F? Ответ определяется величиной «замазанной» площади (или, говоря более формально, совокупной вероятностью), лежащей в диапазоне от 65 до 70°F, представленной заштрихованной фигурой на рис. A.3. Основание заштрихованного прямоугольника равно 5, его высота равна 0,05 и, соответственно, площадь – 0,25. Искомая вероятность равна 1/4, что в любом случае очевидно, поскольку промежуток от 65 до 70°F составляет 1/4 всего диапазона.

 

Рис. A.3.

Высота заштрихованной площади представляет то, что формально называется плотностью вероятности в этой точке, и если эта высота может быть записана как функция значений случайной переменной, то эта функция называется функцией плотности вероятности. В нашем примере она записывается как , где – температура, и

. (A.11)

В качестве первого приближения функция плотности вероятности показывает вероятность нахождения случайной переменной внутри единичного интервала вокруг данной точки. В нашем примере эта функция всюду равна 0,05, откуда вытекает, что температура находится, например, между 60 и 61°F с вероятностью 0,05.

В нашем случае график функции плотности вероятности горизонтален, и ее указанная интерпретация точна, однако в общем случае эта функция непрерывно меняется, и ее интерпретация дает лишь приближение. Далее мы рассмотрим пример, когда эта функция непостоянна, поскольку не все температуры равновероятны. Предположим, что центральное отопление работает таким образом, что температура никогда не падает ниже 65°F, а в жаркие дни температура превосходит этот уровень, не превышая, как и ранее, 75°F. Мы будем считать, что плотность вероятности максимальна при температуре 65°F и далее она равномерно убывает до нуля при 75°F (рис. A.4).

 

Рис. A.4.

Общая «замазанная» площадь, как всегда, равна единице, поскольку совокупная вероятность равна единице. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому получаем:

, (A.12)

и высота при 65°F равна 0,20.

Предположим вновь, что мы хотим знать вероятность нахождения температуры в промежутке между 65 и 70°F. Она представлена заштрихованной площадью на рис. A.5, и если вы немного помните геометрию, то сможете проверить, что она равна 0,75. Если вы предпочитаете процентное измерение, то это означает, что с вероятностью 75% температура попадет в диапазон 65-70°F и только с вероятностью 25% – в диапазон 70-75°F.

 

Рис. A.5.

В данном случае функция плотности вероятности записывается как , где

. (A.13)

Прежде чем продолжить изложение, упомянем о хорошей и плохой новостях. «Плохая новость» – это то, что если вы хотите рассчитать вероятности для более сложных функций с криволинейными графиками, то элементарная геометрия становится неприменимой. Вообще говоря, вы должны воспользоваться интегральным исчислением или специальными таблицами (если последние существуют). Интегральное исчисление используется также и при определении математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины.

«Хорошая новость» – в том, что специальные таблицы существуют для всех функций, которые будут интересовать нас на практике. Кроме того, математическое ожидание и дисперсия имеют практически тот же смысл для непрерывных случайных величин, что и для дискретных, для них верны те же самые правила.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 332; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. В большинстве случаев беременность продолжается 10 лунных месяцев, т.е. 280 дней или 9 календарных.
  2. В какой срок в общем случае должен быть составлен акт выездной налоговой проверки?
  3. В какой срок в общем случае должен быть составлен акт выездной налоговой проверки?
  4. В какой срок в общем случае должен быть составлен акт камеральной налоговой проверки?
  5. В какой срок в общем случае должен быть составлен акт камеральной налоговой проверки?
  6. В каком случае элемент основной памяти всегда отображается в одно и то же место кэш-памяти?
  7. В общем случае добытое минеральное сырье является собственностью пользователя недр, осуществляющего добычу на лицензионном участке.
  8. В подавляющем большинстве случаев «закаливающие процедуры» не приносят ребенку ни пользы, ни вреда, но оказывают огромную пользу нервной системе родителей.
  9. В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.
  10. В ряде случаев для достижения лечебного эффекта необходимо длительное время поддерживать большую концентрацию антитоксина в организме, что достигается повторными его введениями.
  11. В самом общем случае — это любое поучение, рассуждедние, создание текста, самое главное — это важность вида.
  12. В случае если ощущается недостаток информации для использования других подходов к оценке.

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.