Непрерывность функции в точке

Непрерывность функций

Лекция 4.

Определение 1. Пусть функция y = f (x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32)

aТаким образом, условие непрерывности функции y = f (x) в точке х₀ состоит в том, что:

1. значение функции в точке х = х₀ есть определённое число f (x₀);

2. предел функции y = f (x) при стремлении х к х₀ как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;

3. числа и f (x₀) равны.

Так как , то равенство (32) можно записать в виде

(33)

aЭто означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х₀.

lim sin x =sin(lim x);

lim arctg x =arctg (lim x); (34)

lim lоg x =lоg (lim x).

Задание. Найти предел: 1) ; 2) .

Дадим определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

рис.4

Т.к. условия и одинаковы (рис.4), то равенство (32) принимает вид:

или .

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Задание. Исследовать на непрерывность функцию y =2 х ²-1.

Свойства функций, непрервных в точке

1. Если функции f (x) и φ (x) непрерывны в точке х ₀, то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке х ₀.

2. Если функция у = f (x) непрерывна в точке х ₀ и f (x ₀)>0, то существует такая окрестность точки х ₀, в которой f (x)>0.

3. Если функция у = f (u) непрерывна в точке u₀, а функция u= φ (x) непрерывна в точке u₀= φ (x₀), то сложная функция y = f [ φ (x)] непрерывна в точке х ₀.

Дата добавления: 2014-01-03