Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на отрезке.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и принимает на его концах неравные значения f (a)= A и f (b)= B, , то каково бы ни было число С, заключённое между А и В, найдётся точка такая, что f (c)= C.

Геометрически теорема очевидна. Для любого числа С, заключённого между А и В, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что f (С)= C. Прямая у = С пересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a;b ] и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка [ a;b ] найдётся хотя бы одна точка с, в которой функция y = f (x) обращается в нуль: f (c)=0.

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох.

_Утверждения теорем Вейерштрасса и Больцано-Коши, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из её условий: непрерывна не на отрезке [ a;b ], а в интервале (a;b), либо функция на отрезке [ a;b ] имеет разрыв.

Дата добавления: 2014-01-03