Доказательство

Лекция

Свойства:

9) Пусть ϕ(x) строго выпуклая функция на выпуклом множестве и существует глобальный минимум, тогда он единственный.

10) Глобальный максимум выпуклой функции ϕ(x) на выпуклом множестве совпадает хотя бы с одной экстремальной точкой этого множества.

□ От противного:

Пусть есть =

Пусть ≠ - экстремальная точка, где i=. Докажем, что это не так:

По теореме о представлении точка =; =1, 𝝀≥0.

Кроме того, для тех же 𝝀 можно применить неравенство Йенсена:

ϕ ()≤

Возьмем max ϕ)=. Подставим в правую часть:

ϕ ()≤= ), следовательно противоречие и =. □

11) Пусть имеется дифференцируемая выпуклая функция ϕ во всех точках выпуклого открытого множества X, тогда необходимым и достаточным условием выпуклости этой функции является следующее неравенство: ∀ ,ϵX

()≥ ϕ()+ ϕ ()(-), где ϕ (,…,

12) Точка является точкой глобального минимума для выпуклой, непрерывной дифференцируемой функции на выпуклом открытом множестве X тогда и только тогда, когда выполняется следующее неравенство:

ϕ ()(-)≥0, ∀ xϵ X (1)

Следствие:

Если x- открытое множество и ϵX, то в этой точке ϕ()=0

Доказательство:

□ В качестве переменной возьмем следующую точку xϵ X, x=-αϕ(), α

Отсюда видно, что если подставить в (1), то получим следующее: ||ϕ()||≥0, следовательно ϕ(□

Опр: Точки, для которых градиент какой-либо точки равен 0 называются стационарными точками.

Стационарная точка- это необходимое условие для открытого множества существования экстремума.

И оно становится и достаточным, если функция выпуклая(вогнутая): в первом случае минимум, во втором максимум.

Данное условие позволяет выбирать направления, допустимые во внутренней области. Например Очевидно, что для нее ϕ()(-)0, ≠opt

13) Свойство матрицы Гессе для непрерывных и дважды дифференцируемых выпуклых функций

Теорема:

Пусть имеется непрерывная дважды дифференцируемая функция ϕ(x), определенная на выпуклом открытом множестве X. Тогда и только тогда функция является выпуклой, когда матрица Гессе на всем множестве X не отрицательно определена. Т.е. H(x)≥0, ∀xϵX (не положительно определена, когда функция вогнута).

H(x)=(())

==

Доказательство:

□ (Для выпуклой функции)

Пусть - непрерывная, выпуклая, дважды дифференцируемая функция. Тогда ϕ(x) диф. В какой-либо точке ϵ X и имеем:

1) ϕ(x)= ϕ()+ϕ ()(-) +H ()(-) +O(-) ||-||²

2) (из свойства 11) ϕ(x)≥ ϕ() +ϕ ()(-)

Подставим в 11 свойство и устремим x, получим:

H ()(-)≥0

H ()≥0, ∀ ϵ Х □

Обратная теорема:

Пусть x- малое открытое множество на котором матрица Гессе неотрицательно определена, тогда функция ϕ на этом множестве выпукла.

Доказательство:

Возьмем две произвольные точки ,ϵX. Возьмем точку = λ+(1-𝝀), ϵ [,], 𝝀ϵ[0,1]

Вспомним теорему Тейлора: если у нас есть некий отрезок [ ,], то

ϕ ()= ϕ ()+ϕ ()(-)+H ()()

Получаем нер-во из свойства 11: ϕ ()≥ϕ ()+ϕ ()(-), следовательно ϕ-выпуклая. □

Пример:

ϕ (x)=2+ 3, пусть xϵ

ϕ= H-?

Det=0

(𝝀-4)(𝝀-6) -1=0

-10𝝀+23=0

=≥0,выпукл.

14) Достаточное условие для стационарной точки ϕ(x), X-открытое ϵX-стационарная точка

ϕ()=0

Достаточным условие локального минимума(максимума) является следующее условие:

H()0 (H()0)

X=- открытое

1)+-выпуклое

2)+- выпуклое

3)+- не выпуклое и не вогнутое

ϕ()=0

=

1)H(=0

2,3)H=0

Если матрица Гессе на открытом множестве имеет переменный знак, то там может быть седло.

Опр: Пусть у нас есть 2 группы переменных

Пусть x ϵ X, u ϵ U, тогданазывается седлом функции ϕ(x), если выполняется следующее условие:

(3 определения)

1) ϕ(x,)≤ϕ()≤ϕ(

2) ϕ(x,)=ϕ(

3) ϕ(x,u)=ϕ(x,u)

Седло может быть как на открытом множестве так и на компактах.

Дата добавления: 2014-01-03