Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Доказательство


Лекция

Свойства:

9) Пусть ϕ(x) строго выпуклая функция на выпуклом множестве и существует глобальный минимум, тогда он единственный.

10)Глобальный максимум выпуклой функции ϕ(x) на выпуклом множестве совпадает хотя бы с одной экстремальной точкой этого множества.

□ От противного:

Пусть есть =

Пусть - экстремальная точка, где i=. Докажем, что это не так:

По теореме о представлении точка = ; =1, 𝝀≥0.

Кроме того, для тех же 𝝀 можно применить неравенство Йенсена:

ϕ ()≤

Возьмем max ϕ)=. Подставим в правую часть:

ϕ ()≤= ), следовательно противоречие и =. □

 

11) Пусть имеется дифференцируемая выпуклая функция ϕ во всех точках выпуклого открытого множества X, тогда необходимым и достаточным условием выпуклости этой функции является следующее неравенство: ∀ ,ϵX

()≥ ϕ()+ ϕ ()(-), где ϕ ( ,…,

 

12) Точка является точкой глобального минимума для выпуклой, непрерывной дифференцируемой функции на выпуклом открытом множестве X тогда и только тогда, когда выполняется следующее неравенство:

ϕ ()(-)≥0, ∀ xϵ X (1)

Следствие:

Если x- открытое множество и ϵX, то в этой точке ϕ()=0

Доказательство:

□ В качестве переменной возьмем следующую точку xϵ X , x=ϕ(), α

Отсюда видно, что если подставить в (1), то получим следующее: ||ϕ()||≥0 , следовательно ϕ(

 

Опр: Точки, для которых градиент какой-либо точки равен 0 называются стационарными точками.

Стационарная точка- это необходимое условие для открытого множества существования экстремума.

И оно становится и достаточным, если функция выпуклая(вогнутая): в первом случае минимум, во втором максимум.

Данное условие позволяет выбирать направления, допустимые во внутренней области. Например Очевидно, что для нее ϕ()(-)0 , ≠opt

13) Свойство матрицы Гессе для непрерывных и дважды дифференцируемых выпуклых функций



Теорема:

Пусть имеется непрерывная дважды дифференцируемая функция ϕ(x), определенная на выпуклом открытом множестве X. Тогда и только тогда функция является выпуклой, когда матрица Гессе на всем множестве X не отрицательно определена. Т.е. H(x)≥0, ∀xϵX (не положительно определена, когда функция вогнута).

H(x)=(( ))

==

Доказательство:

□ (Для выпуклой функции)

Пусть - непрерывная, выпуклая, дважды дифференцируемая функция. Тогда ϕ(x) диф. В какой-либо точке ϵ X и имеем:

1) ϕ(x)= ϕ()+ϕ ()(-) +H ()(-) +O(-) ||-||2

2) (из свойства 11) ϕ(x)≥ ϕ() +ϕ ()(-)

Подставим в 11 свойство и устремим x, получим:

H ()(-)≥0

H ()≥0, ∀ ϵ Х □

Обратная теорема:

Пусть x- малое открытое множество на котором матрица Гессе неотрицательно определена, тогда функция ϕ на этом множестве выпукла.

Доказательство:

Возьмем две произвольные точки ,ϵX . Возьмем точку = λ+(1-𝝀), ϵ [,] , 𝝀ϵ[0,1]

Вспомним теорему Тейлора: если у нас есть некий отрезок [ ,] , то

ϕ ()= ϕ ()+ϕ ()(-)+H ()()

Получаем нер-во из свойства 11: ϕ ()≥ϕ ()+ϕ ()(-), следовательно ϕ-выпуклая. □

 

Пример:

ϕ (x)=2+ 3, пусть xϵ

ϕ= H- ?

Det=0

(𝝀-4)(𝝀-6) -1=0

-10𝝀+23=0

=≥0,выпукл.

 

14) Достаточное условие для стационарной точки ϕ(x), X-открытое ϵX-стационарная точка

ϕ()=0

Достаточным условие локального минимума(максимума) является следующее условие:

H()0 (H()0)

X=- открытое

1)+-выпуклое

2)+- выпуклое

3)+- не выпуклое и не вогнутое

ϕ()=0

=

1)H(=0

2,3)H=0

Если матрица Гессе на открытом множестве имеет переменный знак, то там может быть седло.

Опр: Пусть у нас есть 2 группы переменных

Пусть x ϵ X, u ϵ U, тогданазывается седлом функции ϕ(x), если выполняется следующее условие:

(3 определения)

1)ϕ(x,)≤ϕ()≤ϕ(

2)ϕ(x,)=ϕ(

3)ϕ(x,u)=ϕ(x,u)

Седло может быть как на открытом множестве так и на компактах.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Параметры страниц и печать | Условия на седло дифференцируемой функции и разных областей определения

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 340; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.012 сек.